厦门市第一中学高二上学期期中考试理科数学试卷

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.

1. 已知
是两个不相等的正数，
是
的等差中项，
是
的等比中项，则
与
的大小关系是A.
B.
C.
D.

2．在
中，内角
，
，
对应的边分别为
，
，
，若
，则角
等于A．
B．
C．
或
D.
或

3．若关于
的二次不等式
的解集为实数集
，则实数
的取值范围是

A．
或
B.
C.
或
D.

4．下列各函数中，最小值为
的是

A．
,
且
B．
，

C．
,
D．
,

5.等差数列{
}的前
项和记为
,若
为常数,则下列各数中恒为常数的是A．
B．
C．
D．

6.已知变量
满足约束条件
，则
的最大值为

A．
B．
C．
D．

7. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°

的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮

在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向

是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是

A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里

8.关于
的不等式
的解集为
，且
这三个

数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则
的值等于

A．6 B．7 C．8 D．9

9. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为
和

，其全程的平均时速为
，则

A.
B.
C.
D.

10．设等差数列的首项和公差都是非负的整数，项数不少于3，且各项和为
，则这样的数列共有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

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第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

11. 在等比数列
中，
，则
等于 ▲ .

12. 已知
的三边长成公比为
的等比数列，则其最大角的余弦值为 ▲ .

13.设函数
，则不等式
的解集是 ▲ .

14.要制作一个容积为
，高为
的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ▲ (单位：元)．

15.已知方程

，其一根在区间
内，另一根在区间
内，则
的取值范围为 ▲ .

16．平面内有
个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该
个圆把平面分成
个区域，那么
▲ .

三、解答题：本大题共6小题，共76分。

17．（本小题满分12分）在
中，内角
，
，
对应的边分别为
，
，
（
），且
.（Ⅰ）求角
；（Ⅱ）求证：
；（Ⅲ）若
，且
边上的中线
长为
，求
的面积．

18．（本小题满分12分）已知等比数列
满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列
的通项公式；（Ⅱ）若
，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n+1＋47<0成立的正整数n的最小值．

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19．（本小题满分12分）已知函数
。（Ⅰ）解不等式
；（Ⅱ）设正数
满足
，若不等式
对任意
都成立，求实数
的取值范围。

20.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列
的前
项和
且
成等比数列.（Ⅰ）求数列
的通项公式；（Ⅱ）设
为数列
的前
项和，若

对任意
恒成立，求实数
的最小值.

21．（本小题满分14分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金
万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用
万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加
万元，该设备使用后，每年的总收入为
万元，设从今年起使用
年后该设备的盈利额为
万元。（Ⅰ）写出
的表达式；（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以
万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备。问用哪种方案处理较为合算?请说明理由.

22.（本小题满分14分）已知数列
的前
项和

。（Ⅰ）求数列
的通项公式；（Ⅱ）令
，
，试比较
与
的大小，并予以证明。

厦门一中2015-2016学年高二（上）期中考理科数学试题

参考答案

一、选择题：BCBDB CADAC

二、填空题：11.4； 12.
；13.
；14.
；15.
；16.
.

10.解∵设等差数列首项为a，公差为d，依题意有na+
n(n?1)d＝972，

即[2a+（n-1）d]n=2×972?．因为n为不小于3的自然数，97为素数，故n的值只可能为97，2×97，972，2×972四者之一．若d＞0，则知2×972≥n（n-1）d≥n（n-1）＞（n-1）2．故只可能有n=97．于是?a+48d=97．此时可得n=97，d=1，a=49?或?n=97，d=2，a=1．若d=0时，则由（3）得na=972，此时n=97，a=97?或?n=972，a=1．故符合条件的数列共有4个，故答案为 C．

三、解答题

17．解：（Ⅰ）∵
，∴
．

即
．

∵
，∴
，∵
，∴
，∴
．…………4分

（Ⅱ）∵

，∴
.…………7分

（Ⅲ）由
及（Ⅰ）知
，所以，
，.…………8分

设
，则
，又

在
中，由余弦定理得

即
解得
…………10分

故
…………12分

18.解： （Ⅰ）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项∴a1（2+q2）=3a1q（1），a1（q+q3）=2a1q2+4（2）由（1）及a1≠0，得q2-3q+2=0，∴q=1，或q=2，…………4分当q=1时，（2）式不成立；当q=2时，符合题意，…………5分把q=2代入（2）得a1=2，所以，an=2?2n-1=2n；…………6分

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（Ⅱ）bn＝an＋log2＝2n＋log2＝2n－n. …………7分

所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n

＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)

＝－＝2n＋1－2－n－n2. …………9分

因为Sn－2n＋1＋47<0，

所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0，

即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10. …………11分

因为n∈N*，故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10. …………12分

19.解：（Ⅰ）不等式

或
或

即
或
或
，…………4分

于是原不等式的解集为
…………6分

（Ⅱ）因为
，所以
，…………8分

当且仅当
即
时
取得最小值
，…………9分

因为
对任意
都成立，

所以
，…………11分

于是，所求实数
的取值范围是
.…………12分

20.解： （Ⅰ）由
，解得
………4分

于是
，………5分

（Ⅱ）因为
，

所以
，………7分

因为

对任意
恒成立，………8分

且
………10分

当且仅当
时，取“
”，所以
………11分，

即实数
的最小值为
………12分.

21. 解：（Ⅰ）
.………3分

（Ⅱ）由
得：
即
，解得
，由
知，
，即从第三年开始盈利………6分

（Ⅲ）方案①：年平均盈利为
，则
，当且仅当
，即
时，年平均利润最大，共盈利24×7＋52＝220万元.……10分

方案②：
，当
时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈利204＋16＝220万元

两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．………14分

22．（Ⅰ）在
中，令n=1，可得
，即
………1分，

当
时，
，

，………3分

.

又
数列
是首项和公差均为1的等差数列.

于是
.………6分

（Ⅱ）由（I）得
，所以

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由①-②得

………9分

于是只要比较
与
的大小即可，

（1）当
时，
，此时
，即
，………10分

（2）猜想：当
时，
，下面用数学归纳法证明：

①当
时，不等式
成立；

②假设
时，不等式成立，即
；

则当
时，
，

所以当
时，不等式
成立.

由①和②可知，当
时，
成立，………13分

于是，当
时
，即
.………14分

另证：要证
（
），

只要证：
，

只要证：
，

由均值不等式得：