昌平区2015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测

数 学 试 卷（文科）

（满分150分，考试时间 120分钟）2016.1

考生须知：

本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。

考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

(1) 如果一个命题的逆命题是真命题，那么以下结论正确的是

（A）该命题的否命题必是真命题 （B）该命题的否命题必是假命题

（C）该命题的原命题必是假命题 （D）该命题的逆否命题必是真命题

(2) 经过点
和点
的直线方程是

（A）
（B）
（C）
（D）

(3) 设点
，则“
”是“点
在直线
上”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

(4) 若函数
，则
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）已知直线
和平面
，给出下列两个命题：

命题
：若
，则
；

命题
： 若
，则
.

那么下列判断正确的是

（A）
为真命题 （B）
为假命题 （C）
为真命题 （D）
为假命题

(6)过抛物线
的焦点且倾斜角为
直线
，交抛物线于
，
两点，则弦
的长为

(A)8 ( B)16 ( C) 24 ( D) 32

(7)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是

(A)

(B)

(C)

(D)

（8）从点
向圆
作切线，当切线长最短时，
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

(9)已知点
是椭圆
的焦点，点
在椭圆
上且满足
，则
的面积为

(A)
(B)
(C)
(D)

(10) 函数
的图象如图所示，则下列结论正确的是

(A)

(B)

(C)

(D)

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）

（11）若命题
，则
．

（12）若直线
与直线
平行，则
的值为____ .

(13) 已知一个圆柱的底面半径为
，体积为
，则该圆柱的母线长为______ ，表面积为______ .

（14）已知抛物线
，
是抛物线上一点，过点
向其准线作垂线，垂足为点
，定点
，则
的最小值为_________；此时点
的坐标为_________ .

(15) 已知双曲线
的渐近线与圆
有交点，则该双曲线的离心率的取值范围为___________．

（16）已知函数
，且
是函数
的极值点.

给出以下几个结论：

①
；②
；③
；④

其中结论正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

（17）(本小题满分14分)

设函数
的导函数为
，且
.

（Ⅰ）求函数
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
的单调区间.

（18）(本小题满分14分)

已知圆
.

(I)求过点
的圆
的切线方程；

(II)若直线
与圆
相交于
两点，且弦
的长为
，求
的值．

(19) (本小题满分14分)

如图，在四棱锥
中，
，底面
为直角梯形，

，过
的平面分别交
于
两点.

（I） 求证：
；

（II）若
分别为
的中点，

①求证：
；

②求四棱锥
的体积.

(20) (本小题满分14分)

已知椭圆
的离心率为
，且经过点
．

(Ⅰ)求椭圆
的标准方程；

(Ⅱ)如果过点
的直线与椭圆
交于
两点（
点与
点不重合），当
时，求直线
的方程．

(21) (本小题满分14分)

已知函数
，
。

(Ⅰ)若
，求函数
的极值；

(Ⅱ)若函数
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)对任意
，
，若
恒成立，求实数
的取值范围.

昌平区2015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测

数学试卷参考答案及评分标准 （文科） 2016.1

选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

A

D

C

B

A

C

C

B





二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（11）
（12）
或
（13）
；

（14）
；
（15）
（16）②④

三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

（17）（本小题满分14分）

解：（I）由
得
. …………1分

因为
，即
. …………2分

所以
.…………3分

所以
，
.

因为
，
. …………5分

所以函数
在点
处的切线方程为
，即
.

…7分

（Ⅱ）因为
, …………8分

令
，得
. …………9分

所以函数
的单调递增区间为
. …………11分

令
，得
. …………12分

所以函数
的单调递减区间为
. …………14分

（18）（本小题满分14分）

解：（I）圆
的方程可化为
，圆心
，半径是
. …2分

①当切线斜率存在时，设切线方程为
，即
. ……3分

因为
，

所以
. …………6分

②当切线斜率不存在时，直线方程为
，与圆
相切.

……… 7分

所以过点
的圆
的切线方程为
或
. ………8分

（II）因为弦
的长为
，

所以点
到直线
的距离为
. ……10分

因为
. …………12分

所以
. …………14分

（19）（本小题满分14分）

证明：（I）因为底面
为直角梯形，

所以
.

因为

所以
. ……2分

因为
，

所以
. ……4分

（II）①因为
分别为
的中点，
,

所以
. ……5分

因为

所以
.

因为
,

所以
.

因为
，

所以
.

所以
. ……7分

因为
，

所以
.

因为
，

所以
. ……9分

②由①可知
，

所以
为四棱锥
的高. ……10分

因为
，
分别为
的中点，

所以
.
. ……11分

所以
. ……12分

所以
.

所以四棱锥
的体积为
. ……14分

（20）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为椭圆经过点
，
，

所以
. ……1分

由
，解得
. ……3分

所以椭圆
的标准方程为
． ……4分

（Ⅱ）①若过点
的直线斜率不存在，
两点中有一个点与
点重合，不满足题目条件．

……5分

②若过点
的直线斜率存在，设直线
的方程为
. ……6分

由
可得