昌平区2015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测

数 学 试 卷（理科）

（满分150分，考试时间 120分钟）2016.1

考生须知：

本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。

考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

（1）抛物线
的焦点到准线的距离为

（A）
（C）
（C）
（D）

（2）过点
且倾斜角为
的直线方程为

(A)
( B)

( C)
( D)

（3）若命题
是真命题，命题
是假命题，则下列命题一定是真命题的是

(A)
（B）
(C)
(D)

（4）已知平面
和直线
，若
，则“
”是“
”的

(A)充分而不必要条件 ( B)必要而不充分条件

( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

（5）如图，在正方体
中，点
分别是面对角线
的中点，若
则

(A)
( B)

( C)
( D)

（6）已知双曲线
的离心率为
，则其渐近线方程为

(A)
( B)
( C)
( D)

（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是

(A)

( B)

( C)

( D)

（8）从点
向圆
作切线，当切线长最短时
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）已知点
是椭圆
的焦点，点
在椭圆
上且满足
，

则
的面积为

(A)
(B)
(C)
(D)

(10) 如图，在棱长为1的正方体
中，点
是左侧面
上的一个动点，满足
，则
与
的夹角的最大值为

(A)

( B)

( C)

( D)

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

(11)若命题
，则
．

(12) 已知
，
，则
______________.

(13)若直线
与直线
平行，则
的值为____ .

(14)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设
，

，
是
的中点，则
所成角的

大小为____________，
___________.

(15)已知
是抛物线
上的一点，过点
向其准线作垂线交于点
，定点
，则

的最小值为_________；此时点
的坐标为_________ .

(16)已知直线

．若存在实数
，使直线
与曲线
交于
两点，

且
，则称曲线
具有性质
．给定下列三条曲线方程：

①
； ②
； ③
．

其中，具有性质
的曲线的序号是________________ .

三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

（17）(本小题满分14分)

已知圆
.

(I)求过点
的圆
的切线方程；

(II)若直线
与圆
相交于
两点，且弦
的长为
，求
的值．

（18）(本小题满分14分)

在直平行六面体
中，底面
是菱形，
，
，
.

(I)求证：
；

(II)求证：
；

(III)求三棱锥
的体积.

（19）(本小题满分14分)

已知椭圆
的离心率为
，且经过点
．

(Ⅰ)求椭圆
的标准方程；

(Ⅱ)如果过点
的直线与椭圆交于
两点（
点与
点不重合），求证：
为

直角三角形．

（20）(本小题满分14分)

如图，在四棱锥
中，
，底面
为直角梯形，

，过
的平面分别交
于
两点.

（I）求证：
；

（II）若
分别为
的中点，

①求证：
；

②求二面角
的余弦值.

（21）(本小题满分14分)

抛物线
与直线
相切，
是抛物线上两个动点，
为抛物线的焦点，且
.

（I） 求
的值；

（II） 线段
的垂直平分线
与
轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；

（III）求直线
的斜率的取值范围.

昌平区2015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测

数学试卷参考答案及评分标准 （理科） 2016.1

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

题号

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

8

 9

 10



答案

B

A

D

B

D

A

A

D

C

C





二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（11）
（12）
（13）
或

（14）
；
（15）
；
（16）②③

三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

（17）（本小题满分14分）

解：（I）圆
的方程可化为
，圆心
，半径是
. …2分

①当切线斜率存在时，设切线方程为
，即
. ……3分

因为
，

所以
. …………6分

②当切线斜率不存在时，直线方程为
，与圆
相切. ……… 7分

所以过点
的圆
的切线方程为
或
. ………8分

（II）因为弦
的长为
，

所以点
到直线
的距离为
. ……10分

即
. …………12分

所以
. …………14分

（18）（本小题满分14分）

证明：(I) 如图，在直平行六面体
中，

设
，连接
.

因为
，

所以四边形
是平行四边形.

所以
. ……1分

因为底面
是菱形，

所以
.

所以四边形
是平行四边形.

所以
. ……2分

因为
，

所以
. ……4分

(II)因为
，
，

所以
. ……5分

因为底面
是棱形，

所以
. ……6分

因为
，

所以
. ……7分

因为
， ……8分

所以
. ……9分

(III)由题意可知，
，

所以
为三棱锥
的高. ……10分

因为
.

所以三棱锥
的体积为
. ……14分

(19)（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为椭圆经过点
，
，

所以
. ……1分

由
，解得
. ……3分

所以椭圆
的标准方程为
． ……4分

（Ⅱ）若过点
的直线
的斜率不存在，此时
两点中有一个点与
点重合，不满足题目条件． ……5分

若过点
的直线
的斜率存在，设其斜率为
，则
的方程为
，

由
可得
. ……7分

设
，则

， ……9分

所以
，

. ……11分

因为
，

所以