北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷

高二数学 2016.1

（理科）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

题号

一

二

三

本卷总分









15

16

17

18

19

20





分数





















一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1．命题“若
，则
”的逆命题是（ ）



（A）若
，则

（B）若
，则



（C）若
，则

（D）若
，则



2．圆心为
，且与
轴相切的圆的方程是（ ）



（A）

（B）



（C）

（D）



3．在空间中，给出下列四个命题：

① 平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；

③ 平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．

其中真命题的序号是（ ）



（A）①

（B）②

（C）③

（D）④



4．实轴长为
，虚轴长为
的双曲线的标准方程是（ ）



（A）

（B）



（C）
，或

（D）
，或





5．“直线
垂直于平面
内无数条直线”是“直线
垂直于平面
”的（ ）



（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件



6. 某几何体的三视图如图所示．其中主视图中△

是边长为
的正三角形，俯视图为正六边形，那么该

几何体的左视图的面积为（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）



7．已知椭圆
的两个焦点分别为
，
，若椭圆上存在点
使得

是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



8. 已知四面体
的侧面展开图如图所示，

则其体积为（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.

9. 命题“
，
”的否定是_______.

10. 已知直线
：
，
：
. 若
∥
，则实数
_______.

11. 已知双曲线
的一个焦点是
，则其渐近线的方程为_______.

12. 如图，正方体
中，直线
和

所成角的大小为_______；直线
和平面

所成角的大小为_______.

13. 在空间直角坐标系
中，已知平面
的一个法向量是
，且平面
过点
.若
是平面
上任意一点，则点
的坐标满足的方程是_______.

14. 平面内到定点
和定直线
的距离之和等于
的动点的轨迹为曲线
．关于曲线
的几何性质，给出下列三个结论：

① 曲线
关于
轴对称；

② 若点
在曲线
上，则
；

③ 若点
在曲线
上，则
.

其中，所有正确结论的序号是_______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

如图，四棱锥
的底面
为菱形，
是棱
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）若
，求证：平面
平面
．

16.（本小题满分13分）

已知抛物线
的准线方程是
.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设直线
与抛物线相交于
，
两点，
为坐标原点，证明：

.

17.（本小题满分13分）

如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
，点
在棱
上，且
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的大小.

18.（本小题满分13分）

如图，在直角坐标系
中，已知圆
：
．点
，
在圆
上，且关于
轴对称．

（Ⅰ）当点
的横坐标为
时，求
的值；

（Ⅱ）设
为圆
上异于
，
的任意一点，直线
，
与
轴分别交于点
，
，证明：
为定值．

19.（本小题满分14分）

如图1，四棱锥
中，
底面
，底面
是直角梯形，
为侧棱
上一点．该四棱锥的俯视图和左视图如图2所示．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
∥平面
；

（Ⅲ）线段
上是否存在点
，使
与
所成角的余弦值为
？若存在，找到所有符合要求的点
；若不存在，说明理由．

20.（本小题满分14分）

如图，已知四边形
是椭圆
的内接平行四边形，且
，
分别经过椭圆的焦点
，
.

（Ⅰ）若直线
的方程为
，求
的长；

（Ⅱ）求平行四边形
面积的最大值.

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷

高二数学（理科）参考答案及评分标准 2016.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.A 2.B 3.C 4. D 5.B 6.C 7. B 8.D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.
10.
11.

12.
，
13.
14. ①②③

注：12题第一空2分，第二空3分；14题少选不给分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15.（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：设
交
于点
，连结
． 【 1分】

因为 底面
为菱形，

所以
为
中点．

因为
是
的中点，

所以
∥
． 【 4分】

因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
． 【 5分】

（Ⅱ）证明：连结
． 【 6分】

因为 底面
为菱形，

所以
，
为
中点． 【 8分】

因为
，

所以
． 【10分】

所以
平面
． 【11分】

因为
平面
，

所以 平面
平面
． 【13分】

16.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为抛物线
的准线方程为
， 【 2分】

所以
， 解得
， 【 4分】

所以 抛物线的方程为
. 【 5分】

（Ⅱ）证明：设
，
.

将
代入
，

消去
整理得
. 【 7分】

所以
. 【 8分】

由
，
，两式相乘，得
， 【 9分】

注意到
，
异号，所以
. 【10分】

所以直线
与直线
的斜率之积为
， 【12分】

即
. 【13分】

17.（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为
直三棱柱，

所以
，
.

又
，

所以
，
，
两两互相垂直. 【 1分】

如图，以
为原点，建立空间直角坐标系
. 【 2分】

则
，
，
，
，
.

由
，得
. 【 3分】

所以
，
.

因为
， 【 4分】

所以
. 【 5分】

（Ⅱ）解：
，
.

设平面
的一个法向量为
，则
【 7分】

所以
取
，得
. 【 9分】

又平面
的一个法向量为
， 【10分】

所以
，