2017届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考试卷

数学（理科）

命题学校：广州市第二中学 命题人：刘 敏

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内．

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．

非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

选做部分，执信、广雅、六中的同学做题类A，二中的同学做题类B．

考生必须保持答题卡的整洁．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

2．（题类A）“
”是“
”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（题类B）
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．运行如图所示程序语句后，输出的结果是 （ ）

A．17 B．19

C．21 D．23

4．从
中随机选取一个数
，从
中随机选取一个数
，则
的概率是 （ ）

A．
B．

C．
D．

5．已知等比数列
中，各项都是正数，且
、
、
成等差数列，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6．给定函数①
，②
，③
，④
，其中在区间
上单调递减的函数序号是 （ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

7．（题类A）双曲线
，过焦点
的弦
长为
（
、
在同一支上），另一焦点为
，则
的周长为 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．（题类B）设
，则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．若变量
、
满足条件
，则
的最大值为 （ ）

A．1 B．2

C．3 D．4

9．几何体的三视图如图所示（均为直角边长为2的等腰直角三角形），则几何体的表面积为 （ ）

A．
B．

C．
D．

10．若
，
是非零向量，且
，
，则函数
是（ ）

A．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数

C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数

11．若直线
与曲线
有公共点，则
的取值范围是 （ ）

A．
B．

C．
D．

12．正实数
、
满足
，且
，则
、
的大小关系是 （ ）

A．
B．
C．
D．不能确定

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5份，共20分．

13．已知
，则
__________；

14．（题类A）抛物线
的焦点坐标为
，则
__________；

14．（题类B）计算定积分
__________；

15．已知正实数
、
满足
，则
的最小值为__________；

16．如图，正三棱锥
的侧棱长为2，底面
的边长为
，
、
分别为
、
的中点，则三棱锥
的外接球半径
__________，内切球半径
__________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

甲

99

100

98

100

103



乙

99

100

102

99

100



17．（本小题满分10分）

甲、乙两机床同时加工直径为100
的零件，为检验质量，随机从中各抽取5件，测量结果如图．请说明哪个机床加工的零件较好？

18．（本小题满分12分）

中，
为边
上的一点，
，
，
，求
．

19．（本小题满分12分）

在三棱锥
中，
是边长为
的正三角形，平面
平面
，
，
为
的中点．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的平面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

如图，
、
、
的坐标分别为
、
、
，
、
、
分别为
的重心、外心、垂心．

（1）写出重心
的坐标；

（2）求外心
、垂心
的坐标；

（3）求证：
、
、
三点共线，且满足
．

21．（本小题满分12分）

数列
是公差
不为
的等差数列，
，
为其前
项和．

（1）当
时，若
，
，
，
，…，
成等比数列（其中
），求
的表达式；

（2）是否存在合适的公差
，使得
的任意前
项中，前
项的和与后
项的和的比值等于定常数?若存在，求出
；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分12分）

（题类A）以椭圆
短轴端点
为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形．

（题类B）函数
，
．

（1）求
的最大值；

（2）设
，求证：
．

2017届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

BBCDC BDCAA DB

二、填空题：本大题共4小题，每小题5份，共20分．

13．
14．
15．
16．1，

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

解：
…………1分

…………2分

故它们的整体水平相当； …………3分

又

…………5分

…………7分

有
，从而乙机床相对稳定； …………9分

故乙机床加工的零件相对较好． …………10分

18．（本小题满分12分）

解：
，
为锐角 …………1分

又
，
亦为锐角 …………2分

从而
，
…………4分

1

1

1
…………8分

又
…………10分

…………12分

19．（本小题满分12分）

证明：（1）取
的中点
，连接
、
，

…………1分

，

…………2分

，

…………3分

又
、
面
，

…………4分

面
…………5分

…………6分

（2）方法一：

平面
平面
，

由面面垂直性质定理，有
面
…………8分

过
作
于
，连接

由三垂线定理，有
，从而
为二面角
的平面角

…………10分

又
，
，

二面角
的平面角的余弦值为
…………12分

方法二：

平面
平面
，

由面面垂直性质定理，有
面

从而
、
、
两两垂直 …………8分

建立如图所示的空间直角坐标系

易知
、
、
的坐标分别为
、
、
，面
的一个法向量为

…………9分

设
为面
的一个法向量

则
，

取
，则
…………11分

故二面角
的平面角的余弦值为
…………12分

20．（本小题满分12分）

解：（1）重心
的坐标为
； …………1分

（2）设外心
、垂心
的坐标分别为
、
，
中点为

则
…………3分

…………5分

故外心
的坐标为
，垂心
的坐标为
； ……7分

（3）
，

有
…………10分

故
、
、
三点共线，且满足
． …………12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）数列
的公差