2015—2016学年度第一学期期末模块考试

五校联考高二年级数学（理科）试题 2016年1月

试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。考试时间为120分钟。

注意事项：

1、 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内。

第一部分 选择题（共60分）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。）

1．设全集
，集合
，
，则图中的阴影部分表示的集合为 ( )

A．
B．
C．
D．

2．函数
的定义域是( ) 第1题图

A．
B．
C．
D．

3．已知向量
．若
为实数，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

4．下列有关命题的说法正确的是( )

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．线性回归直线方程
恒过样本中心
，且至少经过一个样本点．

C．命题“
使得
”的否定是：“
均有
”．

D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．

5．已知
直线
与直线
平行，
，则
是
的（ ）

A.充要条件 B.充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既非充分又非必要条件

6．等差数列
的前n项和为
,若
，则
的值是( )

A．65 B．70 C．130 D．140

7．函数y＝sin (2x＋
)的图像可由函数y＝sin 2x的图像( )

A．向左平移
个单位长度而得到 B．向右平移
个单位长度而得到

C．向左平移
个单位长度而得到 D．向右平移
个单位长度而得到

8．设
是两条不同的直线,
是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )

A．若
,
,
,则
B．若
,
,
,则

C．若
,
,
,则
D．若
,
,
,则

9．如图，若程序框图输出的
是126，则判断框①中应为( )

A．
B．
C．
D．

10．已知
为等比数列，
是它的前
项和．若
，且
与
的等差中项为
，则
等于( )

A.
B.
C.
D.

11．过抛物线
的焦点
的直线交抛物线于
两点，点
是坐标原点，若
，则△
的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.
第9题图

12．若函数
的定义域为实数集R,满足
(
是R的非空真子集),在R上有两个非空真子集
,且
,则
的值域为( )

A .
B.
C.
D.

第二部分 非选择题（共90分）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．如右图，一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．

14．设
满足约束条件
,则
的最大值是________．

15．已知椭圆
的左焦点为
，右顶点为
，点
在椭圆上，且
轴，…直线
交
轴于点
．若
，则椭圆的离心率是_________．

16．设二次函数
的值域为
，则
的最大值为_________．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分10分）

A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若
＝，
＝，且
＝.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a＝2且
，求此三角形的面积．

18．（本小题满分12分）

某校学生利用元旦节进行社会实践，在
岁的人群随机抽取
人，进行了一次“是否已养成垃圾分类习惯”的调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数

分组

已养成垃圾分类习惯的人数

占本组频率



第一组









第二组









第三组









第四组









第五组









第六祖











（Ⅰ）补全频率分布直方图并求
、
、
的值；

（Ⅱ）从
岁年龄段的“已养成垃圾分类习惯的人”中采用分层抽样法抽取
人参加垃圾分类宣讲活动，其中选取
人作为领队，求选取的
名领队年龄都在
岁的概率.

19．（本小题满分12分）

已知二次函数
，数列
的前
项和为
，点
均在函数
上的图像上。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
前
项和为
，问满足
的最小正整数
是多少?.,

20．（本小题满分12分）

如图所示，在三棱柱
中，
为正方形，
为菱形，
,平面
平面
。

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值。　　　　

21．（本小题满分12分）

给定椭圆
：

，称圆心在坐标原点
，半径为
的圆是椭圆
的“伴随圆”． 已知椭圆
的两个焦点分别是
，椭圆
上一动点
满足
．

（Ⅰ）求椭圆
及其“伴随圆”的方程；

（Ⅱ） 过点

作直线
,使得直线
与椭圆
只有一个交点，且
截椭圆
的“伴随圆”所得的弦长为
．求出
的值．

22．（本小题满分12分）

设
，函数
．

（Ⅰ）若
，求函数
在区间
上的最大值；

（Ⅱ）若
，写出函数
的单调区间（不必证明）；

（Ⅲ）若存在
，使得关于
的方程
有三个不相等的实数解，求实数
的取值范围．

2015-2016学年度上学期期末模块考试

五校联考高二年级数学（理）科试卷答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

A

D

A

C

A

D

B

 C

B

B



一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.
14. 3 15.
16.

三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

17.（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）
＝－cos2＋sin2 ………………1分

＝－cosA ………………2分

＝，

∴cosA＝－， ………………3分

又∵A∈(0°，180°)，

∴A＝120°. ………………4分

（Ⅱ）由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos120°即b2＋c2＋bc＝12 ………………5分

又∵

∴联立方程
解得：
………………8分

∴S△ABC＝bcsin120°＝ ……………10分

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）第二组的频率为
，所以高为
．

频率直方图如右： ……………2分

第一组的人数为
，频率为
，所以
． ……………3分

第二组的频率为
，所以第二组的人数为
，所以
． ……………4分

第四组的频率为
，所以第四组的人数为
，

所以
． ……………5分

（Ⅱ） “已养成垃圾分类习惯的人”中，由于
岁年龄段的人数与
岁年龄段的人数的比值为
。所以，采用分层抽样法抽取6人，
岁的占4人，分别编号为A1，A2，…A4，
岁的占2人，分别编号为B1，B2． ……………7分

从中任取两人，则总的基本事件构成集合Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3) (A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，…，(B1，B2)}共有15个， ……………9分

其中，年龄都在
岁的事件所含基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)， (A1，A4)，(A2，A3)， (A2，A4)，(A3，A4)共6个， ……………11分

故概率
. ……………12分

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为 点
均在函数
上的图像上 所以
……………1分

当
时，
……………2分

当
时，
， ……………4分

经检验当
时，也满足
， ……………5分

所以
……………6分

（Ⅱ）

……………7分

……………9分

…………10分

由
，得
，满足
的最小正整数为12. …………12分

20．（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）连接
. 在正方形
中，
.

因为 平面
平面
，平面
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………1分

因为
平面
，

所以
. ………………2分

在菱形
中，
. ………………3分

因为
平面
，
平面
，
，

所以
平面
. ………………4分

因为
平面
，