2015-2016学年高二第一学期期末考试

数学试题

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．

1. 已知集合
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2.复数
（　　）

A.
B.
C.
D.

3.抛物线
的焦点到准线的距离为（ ）

A.
B.
C.
D.

4.
（ ）

A.
B.
C.0 D.

5.曲线
在
处的切线平行于直线
，则
点坐标为（ ）

A.
B.
C.
或
D.
或

6.已知函数
，若将函数
的图像向左平移
个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数
（ ）

A.
B.
C.
D.

7.已知
是不等式组
表示的平面区域内的一点，
，O为坐标原点，则
的最大值( )

A.
B.
C.
D.

8.分配
名水暖工去
个不同的居民家里检查暖气管道. 要求
名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ）

A.
种 B.
种 C.
种 D.
种

9. 已知
展开式中各项系数和为625，则展开式中含
项的系数为（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.
B.

C.
D.

11.已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线与双曲线
的右支相交于
两点，若
，且
，则双曲线的离心率
（ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知数列
满足：
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．在正项等比数列
中，前
项和为
___________.

14．设向量
与
的夹角为
,且
,则
___________.

15.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施
个程序，其中程序
只能出现在第一或最后一步，程序
和
在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 ___________种（用数字作答）.

16.已知函数
的导函数为
，若使得
成立的
，则实数
的取值范围为___________.

三、解答题: （本大题共6小题，共70分.）

17．（本题满分10分）等差数列
中,

(1)求
的通项公式;

(2)设

18．（本题满分12分）在
中，已知角
、
、
的对边分别为
，且
。

（1）求
的大小；

（2）若
，试判断
的形状.

19.（本题满分12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取
名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组
，
，…，
后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求分数在
内的频率；

（2）估计本次考试的平均分；

（3）用分层抽样的方法在分数段为
的学生中抽取一个容量为
的样本，将该样本看成一个总体，从中任取
人，求至多有
人在分数段
内的概率．

20.（本题满分12分）如图：四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，平面
平面
，
，
,
分别为线段
和
的中点．

（1） 求证：
平面
；

（2）在线段
上是否存在一点
，使得平面
和平面
所成二面角的大小为
？若存在，试确定
的位置；若不存在，请说明理由．

21. （本题满分12分）已知两点
，直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为
.

（1）求点M的轨迹方程；

（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q、R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）.

22．（本题满分12分）

设
为实数，函数

（1）当
时，求
在
上的最大值；

（2）设函数
，当
有两个极值点
时，总有
，求实数
的值.

高二期末考试 数学答案

一BACCC DDCAA DB

二13.
14.
15. 96 16.

三17.解(Ⅰ)设等差数列
的公差为d,则

因为
,所以
.

解得,
.

所以
的通项公式为
.

(Ⅱ)
,

所以
.

18.解：（1）

又

又

是等边三角形

19.解：（1）分数在[120，130）内的频率为

1－（0．1＋0．15＋0．15＋0．25＋0．05）＝1－0．7＝0．3．

（2）估计平均分为

＝95×0．1＋105×0．15＋115×0．15＋125×0．3＋135×0．25＋145×0．05=121．

（3）由题意，[110，120）分数段的人数为60×0．15＝9（人）．

在[120，130）分数段的人数为60×0．3＝18（人）．

∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；

在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件共有{m，n}，{m，a}，…，{m，d}，{n，a}，…，{n，d}，{a，b}，…，{c，d}，共15个．

则事件A包含的基本事件有{m，n}，{m，a}，{m，b}，{m，c}，{m，d}，{n，a}，{n，b}，{n，c}，{n，d}，共9个．

∴P（A）＝
＝
．

20．（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH，

因为H、E分别为PA、PD的中点，所以HE∥AD,
,

因为ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点

所以FC∥AD,

所以HE∥FC,
四边形FCEH是平行四边形 所以EC∥HF

又因为

所以CE∥平面PAF ……………4分

（2）因为四边形ABCD为平行四边形且∠ACB＝90°，

所以CA⊥AD 又由平面PAD⊥平面ABCD可得

CA⊥平面PAD 所以CA⊥PA

由PA=AD=1，PD=
可知，PA⊥AD…………5分

所以可建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz

因为PA=BC=1，AB=
所以AC=1

所以

假设BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC

所成二面角的大小为60°，

设点G的坐标为（1，a，0），

所以

设平面PAG的法向量为

则
令

所以

又

设平面PCG的法向量为

则
令
所以

因为平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，所以

所以
又
所以

所以线段BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°点G即为B点.

21.解：（1）设点
，

整理得点M所在的曲线C的方程：
（
）

（2）由题意可得点P（
）

直线PQ与直线PR的斜率互为相反数

设直线PQ的方程为
，

与椭圆方程联立消去
，得：

，

由于
1是方程的一个解，

所以方程的另一解为
同理

故直线RQ的斜率为
=

把直线RQ的方程
代入椭圆方程，消去
整理得

所以

原点O到直线RQ的距离为

.

22.（1）当
时，
，

则
，

∴当
时，
，这时
单调递增，

当
时，
，这时
单调递减，

∴
在
的极大值是
．

（2）由题意可知
，则
．

根据题意，方程
有两个不同的实根
，

∴
，即
，且
．

由
，其中
，

可得
，

注意到
，

∴上式化为
，

即不等式
对任意的
恒成立，

（i）当
时，不等式
恒成立，
；

（ii）当
时，
恒成立，即
，

令函数
，显然，
是
上的减函数，

∴当
时，
，∴
，

（iii）当
时，
恒成立，即
，

由（ii），当
时，
即

，

综上所述，
．

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