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鹰潭市2015—2016学年度上学期期末质量检测

高 二 数 学 试 卷 (理科)

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．注意事项：

1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效．

2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级’’和“考号”写在答题卷上．

3．考试结束，只交答题卷．

第Ⅰ卷 (选择题共60分)

一、选择题（每小题5分，共20个小题，本题满分60分）

1、复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 命题“
，
”的否定是 ( )

A．
，
B．
，

C．
，
D．

，

3.设
，则“
”是“直线
与直线
平行”

的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．函数f(x)＝
的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为(　　)

A．0 B． C．1 D．

5．以抛物线
的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 （ ）

A．
B．

C．
D．

6．已知双曲线
的左右焦点分别为
，以
为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为
，则此双曲线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知圆的方程为
，过点
的直线被圆所截，则截得的最短弦的长度为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1，2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

C．(－3，6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

9．若方程
在
上只有一个解，则实数
的取值范围是

A．
B.

C.
D.

10．我们把由半椭圆
合成的曲线称作“果圆”（其中
）。如图，设点
是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是腰长为1的等腰直角三角形，则a，b的值分别为 ( )

A．5，4 B.
C．
D．

11．函数
的定义域为R，
，对任意
，函数导数
，则
的解集为（ ）

A．
B.
C.
D.

12．已知圆
，定点
，


，
（ ）

A．
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 (非选择题共90分)

二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）

13.
= .

14. 设
满足约束条件：
；则
的取值范围为 .

15．已知
分别为椭圆
的左、右焦点，若存在过
的圆与直线
相切，则椭圆离心率的最大值为　 　．

16．设函数f(x)＝kx3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数k的值为________.

三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18—22题均为12分，共计70分，解答时应写出解答过程或证明步骤）

17．已知命题
：方程
表示焦点在
轴上的椭圆，命题
：关于x的方程
无实根，

（1）若命题
为真命题，求实数
的取值范围；

（2）若“
”为假命题，“
”为真命题，求实数
的取值范围.

18．已知圆C：
，直线
过点

（1）若直线
与圆C相切，求直线
的方程；

（2）

19．已知抛物线C：
上的一点
到焦点
的距离等于5.[:.]

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过点
的直线
与抛物线C相交于A，B两点，
为坐标原点，求
面积最小值.

20．已知函数f(x)＝ex－ax－1.

（1）若
，求f(x)的单调增区间；

（2）是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

21. 已知椭圆
:

的离心率为
，左焦点为
，过点
且斜率为
的直线
交椭圆于
两点．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）求
的取值范围；

（3）在
轴上，是否存在定点
，使
恒为定值？若存在，求出
点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．

22. 已知函数
．

（Ⅰ）若
为函数
的极值点，求
的值；

（Ⅱ）讨论
在定义域上的单调性；

（Ⅲ）证明：对任意正整数
，
．

鹰潭市2015—2016学年度上期期末质量检测

高二数学（理）试卷参考答案

一、选择题（每小题5分，共12个小题，本题满分60分）

1 D 2 B 3 A 4 B 5 D 6 C　 7 B 8 B 9 C 10 D 11 B 12 A

二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）

13、
14、
15、
16、4

三．解答题（17题10分，18—22题均为12分，共计70分. 需要写出解答过程或证明步骤）

17. 解：（1）因为方程
表示焦点在
轴上的椭圆，所以

3分

解得
5分

18. 解：（1）圆C：
，配方，得

圆心
，半径
，

当直线
的斜率不存在时，
：
，此时
不与圆相切。 -----2分

若直线
的斜率，设
：
,由
[:]

得
， ---------4分

所以直线方程为
或
---------6分

（2）由
，得
，

若当直线
的斜率不存在时，
：
，满足题意 ----------8分

若直线
的斜率存在，设
：
由

得
，此时

-------10分

综上所述
方程为
或
-------12分

19. 解：（1）依题意得
，所以

故此抛物线的方程为
---------4分

（2）设直线

联立方程组
消去
得
， ------6分

所以
-------8分

所以

---------------10分

当
时，
取得最小值
--------12分

20.解：（1） f′(x)＝ex-1， ------2分

令ex－1≥0，则ex≥1，x≥0.

因此当，f(x)的单调增区间 [0，＋∞)． ----------5分

（2）∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．------6分

∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立． ----------8分

∴e－2

当a＝e3时，f′(x)＝ex－e3<0在x∈(－2,3)上恒成立，

即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.

故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数． ------12分

所以
的取值范围是
． ……6分

（3）设
，

则
．

又
，

． ……8分

设存在点
，则
，
，

所以

， ……8分要使得
(
为常数)，只要
，

从而
，

即
……10分

由（1）得
，

代入（2）解得
，从而
，

故存在定点
，使
恒为定值
． ……12分

22.（1）因为
，

令f'（1）=0，即
，解得a=﹣4，

经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；

x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，

∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．---------------------------4分

（2）
，

令f'（x）=0，得x=0，或
，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）

①当
，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；

②当
，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，
，

则f'（x）＜0，f（x）递减；

若
，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；

若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；

③当
，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，

④当
，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，
，则f'（x）＞0，f（x）递增；

若
，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；-------------------9分

（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，

∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，

∵
，∴
，i=1，2，3，…，n，

∴
，

∴
．----------------------------12分

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