2015学年第一学期期末教学质量检测

高二数学试题卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．在平面直角坐标系中，过（1，0）点且倾率为－1的直线不经过

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知数列
是等差数列,若
,则

A．
B．
C．
D．

3．圆
的圆心坐标、半径分别是

A．（2，－3）、5 B．（－2， 3）、5

C．（－2， 3）、
D．（ 3，－2）、

4．设
，且
，则

A．
B．
C．
D．

5．无论
取何实数，直线
恒过一定点，则该定点坐标为

A.
B.
C.
D.

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别

为 AA1，AB，BB1，B1C1的中点， 则异面直线EF与GH

所成的角等于

A．45° B．60° C．90° D．120°

已知点A (2,3)、B (－5,2)，若直线l过点P (－1,6)，且与线段AB相交，则直线l斜率

的取值范围是

A．
B．

C．
D．

8．设
是两条不同的直线,
是两个不同的平面,则下列四个命题正确的是

A. 若
B.若

C. 若
D.若

9. 若变量
满足约束条件
且
的最小值为
，则

A.
B.
C.
D.

10．不等式
对任意实数x恒成立，则实数
的取值范围是

A.
B.

C.
D.

11．若正实数
满足
，则

A．
有最大值4 B．
有最小值

C．
有最大值
D．
有最小值

12．已知直线
与圆
交于不同的两点
、
，
是坐标原点， 若
,则实数
的取值范围是

A．
B．

C．
D．
[

填空题（本大题共6小题，单空每小题4分,多空每小题6分，共28分.将答案填在答题卷的相应位置.）

13．数列
的一个通项公式an＝ ▲ ．

14．已知直线ax＋y＋2＝0与直线x－(3a－1)y－1＝0互相垂直,则a = ▲ ．

15．若
成等差数列，则
▲ .

在圆
内过点
有
条弦的长度成等差数列，

最小弦长为数列的首项
，最大弦长为
，若公差

， 那么
的取值集合为 ▲ ．

17.如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何

体的表面积是 ▲ c
，体积是 ▲
.

18．已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，

AB=1，若将
DEF沿直线FD翻折，使得点E落在

边BC上（即点P），则当AD取最小值时，边AF

的长是 ▲ ;此时四面体F—ADP的外接球的半径

是 ▲ .

三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）

19．（本题满分10分）已知函数
，

（1）当
时，解不等式
；

（2）若函数
有最大值
，求实数
的值．

20．（本题满分10分）已知圆
：
，点
（6，0）．

(1) 求过点
且与圆C相切的直线方程
；

(2) 若圆M与圆C外切，且与
轴切于点
，求圆M的方程．

21．（本题满分12分）如图,几何体ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA = AB = 2a, DC = a , F为EB的中点，G为AB的中点.

(1) 求证：FD∥平面ABC；

(2) 求二面角B—FC—G的正切值.

22．（本题满分12分）已知数列
是首项
的等差数列，

设
．

（1）求证：
是等比数列；

（2）记
，求数列
的前
项和
；

（3）记
，若对任意正整数
，

不等式
恒成立，求整数m的最大值．

2015学年第一学期期末教学质量检测

高二数学试题参考答案及评分标准

选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

C

D

A

B

B

D

A

C

C

B





填空题（本大题共6小题，前4题每空4分,后2题每空3分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置）

14.
15.
16.

；
18.
，

解答题（本大题有4小题，前2题每题10分，后2题每题12分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）

19.解：（1）当
时，
，由
得
… 2分

解得
或
……………… 4分

故不等式的解集为
……………… 5分

（2）二次函数有最大值，必须
…………………… 6分

由
得
解得
…………………… ９分

由于
，故实数
　　 …………………… 10分

20.（1）解法1：圆C化为标准方程是
………… 1分

故圆心坐标为C（3，2）半径
. 设切线
的方程为
，

即
由点到直线的距离公式得
解得

所以
即
……………………4分

又
也是切线方程

所以切线
的方程为
或
………… 5分

解法2：圆C化为标准方程是
………… 1分

故圆心坐标为C（3，2）半径
. 设切线
的方程为
………… 2分

即
，由点到直线的距离公式得
，解得

所以切线
的方程为
或
………… 5分

（2） 设圆心
，则半径

∴要使圆M与圆C外切，则须有:
……………… 8分

∴
化简得
解得
或

所以圆M的方程为
或
．… 10分

21. 解：∵F、G分别为EB、AB的中点,∴FG=
EA, ……… 2分

又EA、DC都垂直于面ABC, 所以
∥
且 FG = DC, ……… 4分

∴四边形FGCD为平行四边形, ∴FD∥GC, 又GC
面ABC, FD
面ABC.

∴FD∥面ABC. ……………… 6分

因为
是正三角形，
是
的中点，

所以

又

作
于点
连
则
面

即为所求二面角的平面角. ……… 8分

…………… 12分

方法二(向量法)

分别以
所在直线为
轴建系如图,…… 7分

则

…………… 9分

平面
的法向量

设平面
的法向量

则
…………… 10分

则

设二面角B—FC—G的大小为
则

故二面角B—FC—G的正切值为
. …………… 12分

22.（1）
……………… 2 分

…3分

∴数列
的等比数列 ……………… 5分

（2）
………………… 7分

……………… 9分

（3） 因为
. 则问题转化为对任意正整数
使

不等式
恒成立。 …… 10分

设
，则

……………… 11分

所以
，故
的最小值是

由
恒成立知整数
可取最大值为11. ……………… 12分

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