许昌市四校联考高二上学期第三次考试

数学（理）试卷

时间：120分钟 分值：150分

一、选择题：本大题12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

（1）命题“如果
那么
”的逆否命题是（ ）

（A）如果
，那么
（B）如果
，那么

（C）如果
，那么
（D）如果
，那么

（2）“
”是“
”的（ ）

（A）充分不必要的条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件

（3）命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是（ ）

（A）所有奇数的立方不是奇数

（B）不存在一个奇数，它的立方是偶数

（C）存在一个奇数，它的立方是偶数

（D）不存在一个奇数，它的立方是奇数

（4）设
，则有（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）不等式
的解集是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）在
中，
，则
一定是（ ）

（A）锐角三角形 （B）钝角三角形

（C）等腰三角形 （D）等边三角形

（7）已知数列
的前
项和
（
），那么
（ ）

（A）一定是等差数列

（B）一定是等比数列

（C）或者是等差数列，或者是等比数列

（D）既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

（8）等差数列
的前
项和为30，前
项和为100，则它的前
项的和为（ ）

（A）130 （B）170 （C）210 （D）260

（9）若
成等比数列，则函数
的图象与
轴交点的个数是（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）0或2

（10）若双曲线
的离心率
，则
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）过点
的直线
与椭圆
交于
两点，设线段
的中点为

P，若直线
的斜率为
，直线OP的斜率为
，则
等于（ ）

（A）－2 （B）2 （C）
（D）

（12）如果方程
表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是

（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）在
中，已知
，则边长
.

（14）与双曲线
有共同的渐近线，并且经过点
的双曲线方程

是 .

（15）若点
和点
分别为椭圆
的中心和左焦点，点
为椭圆上任意一

点，则
最大值为 .

（16）已知直线
与双曲线
的右支相交于不同的两点，则
的取值

范围是 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分10分）

若
满足条件
求
的最大值和最小值.

（18）（本小题满分12分）

已知常数
，解关于
的不等式

（19）（本小题满分12分）

某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为
万元时，经销A，B商品中所获得的收益分别为
万元与
万元，其中

如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益.

（20）（本小题满分12分）

已知数列{
}的前n项和
＝2－
，数列{
}满足b1＝1， b3＋b7＝18，且
＋
＝2
（n≥2）．

（I）求数列{
}和{
}的通项公式；

（II）若
＝
，求数列{
}的前n项和
．

（21）（本小题满分12分）

已知向量

，

，函数

.

（I）若
，求
的值；

（II）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是
，且满足
，求
的取值范围.

（22）（本小题满分12分）

已知点
，
是圆
（
为圆心）上的动点，
的

垂直平分线与
交于点
.

（I）求动点
的轨迹方程；

（II）设直线
与
的轨迹交于
，
两点，且以
为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：
面积的最大值及此时直线
的方程.

许昌市四校关考高二上学期第三次考试

数学答案

1—5 CBCAB 6—10 DCCAC 11—12 DD

13、
或
14、
15、6 16、

三、解答题

17、解：目标函数为
，可行域如图所示……3分

作出直线
，可知，直线经过点B时，Z取得最大值，直线经过点A时，z取得最小值.

解方程组

和

可得点
和点
.…………………………8分

…………………………9分

.…………………………10分

18、解（1）若
，则原不等式为
－2，故解集为
.

（2）若
……………………2分

①当
，即
时，方程
的两根为
，

∴原不等式的解集为
.

②当
时，即
时，原不等式的争集为
.

③当
，即
时，原不等式的争集为
.…………6分

（3）若
.

①当
，即
，原不等式的解集为
或
.

②当
时，5373
时，原不等式化为
，

∴原不等式的解集为
.

③当
，即
时，原不等式的解集为R……………………10分

综上所述，当
时，原不等式的解集为
；

当原不等式的解集为
；

当
，原不等式为
；

当
时，原不等式的解集为
或
.；

当
时，
时，原不等式的解集为
.

当
时，原不等式的解集为R.

19、解：投入B商品的资金为
万元（
），则投入A商品的资金为
万元，并设获得的收益为
万元.……………………1分

（1）当
时
，

，当且仅当
，即
时取“＝”；…………………………6分

（2）当
时
,

，当
时，取“＝”.

∵
，∴最大收益为11万元.…………………………11分

∴该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益.…………………………12分

20、解：⑴由题意
， ①

当
时，
， ②

①-②得
， 即
，--------3分

又
，

故数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
；--------4分

由
知，数列
是等差数列，设其公差为
，

则
，所以
，
；

综上，数列
和
的通项公式为
．--------7分

⑵
，

③

， ④

③-④得
，--------9分

整理得
，

所以
．--------12分

21、解：

又
均为锐角

的取值范围是：

22、解：（1）由题知

（2分）

又

点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，

E的轨迹方程为
（4分）

（2）设
，PQ的中点为

将直线
与
联立得

，即
①

又

依题意有
，整理得
② （6分）

由①②可得
，

（7分）

设O到直线
的距离为
，则

（10分）

当
时，
的面积取最大值1，此时
，

直线方程为

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