2015-2016学年第一学期八县（市）一中期末联考

高二数学(文科)试题

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

1．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是 (　　)

A．不存在x0∈R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0>0

C．对任意的x∈R, 2x≤0 D．对任意的x∈R,2x>0

2．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （　　）

A．－
＜x＜3 B．－
＜x＜0 C．－3＜x＜
D．－1＜x＜6

3．抛物线的准线方程是
，则抛物线的标准方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．曲线y＝x3＋1在点(－1,0)处的切线方程为(　　)

A．3x＋y＋3＝0 B．3x－y＋3＝0

C．3x－y＝0 D．3x－y－3＝0

5．已知命题：“若曲线
为椭圆，则
”则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

6．已知椭圆
比椭圆
的形状更圆，则
的离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．函数f(x)＝x2＋alnx在x＝1处取得极值，则a等于(　 　)

A．2 B．－2 C．4 D．－4

8．设p：
，q：函数y＝(3－x2)ex的单调递增区是(－3,1)，则p与q的复合命题的真假是(　 　)

A．“p∨q”假　　　 B．“p∧q”真 C．“?q”真 D．“p∨q”真

9．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　 )

A．y＝±x　　　　　　 B．y＝±2x

C．y＝±4x D．y＝±x

10．如图所示是y＝f(x)的导数图像，则正确的判断是( 　)

①f(x)在(3,
)上是增函数；

②x＝1是f(x)的极大值点；

③x＝4是f(x)的极小值点；

④f(x)在(
,-1)上是减函数．

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

11．设F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝90°，若Rt△F1PF2的面积是1，则a的值是(　 　)

A．1 B. C．2 D.

12．已知椭圆
的左右焦点分别为
、
，以它的短轴为直径作圆
．若点
是
上的动点，则
的值是 ( )

A．
B．
C．
D．与点
的位置有关

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．椭圆
上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于　　　　　　.

14．一座抛物线形拱桥，高水位时，拱顶离水面3m，水面宽2m，当水面上升1m后，水面宽_______m.

15．函数
为R上的减函数的a的范围为 ．

16．以下四个命题：

①若函数
(x∈R)有大于零的极值点，则实数m>1；

②若抛物线
上一点M到焦点的距离为3，则点M到
轴的距离为2；

③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④已知函数
在
处取得极大值10，则
的值为
或
.

其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号)．

三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (本题满分10分)已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆
有相同的焦点，求此双曲线方程及其渐近线方程．

18．(本题满分12分)已知
，
:
,
:
．

（1）若
是
的充分条件，求实数
的取值范围；

（2）若
，“
或
”为真命题，“
且
”为假命题，求实数
的取值范围．

19. (本题满分12分)过抛物线x2＝2y的顶点O作两条相互垂直的弦OP和OQ，求证：直线PQ恒过一个定点．

20. (本题满分12分)某公司决定采用技术改造和投放广告两项措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3(百万元)时，每投入x(百万元) 技术改造费，增加的销售额y1满足y1＝－x3＋2x2＋5x(百万元)；每投入x(百万元) 广告费用，增加的销售额y2满足y2＝－2x2＋14x(百万元)．现该公司准备共投入3(百万元)，分别用于技术改造投入和广告投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益．(注：收益＝销售额－投入，答案数据精确到0.01)(参考数据：≈1.414，≈1.732)

21．(本题满分12分) 设函数


，满足
在
处取得极值.

(1)求
的值；

（2）
的最小值。

（参考数据
）

22. (本题满分12分)已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．

（1）求椭圆G的方程；

（2）求△PAB的面积．

2015-2016学年第一学期八县（市）一中期末联考

高二数学(文科)答案

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

DDABA ABDAC AA

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.5 14． 4 15.
16．①②③

三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 解：∵ 椭圆
的焦点坐标为（－4，0）和（4，0），……………………2分

则可设双曲线方程为
（a＞0，b＞0），

∵ c＝4，又双曲线的离心率等于2，即
，∴ a＝2．……………………………4分

∴
＝12． ………6分；

故所求双曲线方程为
．　…………8分

渐近线方程为：
…………10分

18．（本小题满分12分）

解：（I）

是
的充分条件
是
的子集……………2分

的取值范围是
……………………6分

（Ⅱ）由题意可知
一真一假，……………………8分

当
时，
，

真
假时，由

假
真时，由

所以实数
的取值范围是
……………………12分

19.（本小题满分12分）

*其他解法，酌情给分

20．（本小题满分12分）

解：设3百万元中技术改造投入为x(百万元)，广告费投入为3－x(百万元)，……………1分

则广告收入带来的销售额增加值为－2(3－x)2＋14(3－x)(百万元)，

技术改造投入带来的销售额增加值为－x3＋2x2＋5x(百万元)，……………3分

所以，投入带来的收益F(x)＝－2(3－x)2＋14(3－x)－x3＋2x2＋5x-3.

整理上式得F(x)＝－x3＋3x＋21，……………6分

因为F′(x)＝－x2＋3，

令F′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去)，

当x∈[0，)，F′(x)＞0，当x∈(，3]时，F′(x)＜0，……………10分

所以，x＝≈1.73时，F(x)取得最大值．……………11分

所以，当该公司用于广告投入1.27(百万元)，用于技术改造投入1.73(百万元)时，公司将获得最大收益．……………12分

21.（本小题满分12分）解：（1）（1）
，

。…………………………………………2分

处取得极值，

…………………………………………………3分

即

………………………………………5分

（2）在

，…6分

由


，

；

当

;

;
.……………………………………8分

，

且
………10分

，

………12分

22.（本小题满分12分）

解　(1)由已知得c＝2，＝.

解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4.

所以椭圆G的方程为＋＝1. ……………………………4分

(2)设直线l的方程为y＝x＋m.

由，

得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①……………………6分

设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2) (x1

则x0＝＝－，

y0＝x0＋m＝；

因为AB是等腰△PAB的底边，

所以PE⊥AB.

所以PE的斜率k＝＝－1.

解得m＝2. …………………………10分

此时方程①为4x2＋12x＝0.

解得x1＝－3，x2＝0.

所以y1＝－1，y2＝2.

所以AB＝3.此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，

所以△PAB的面积S＝AB·d＝.………………………………12分

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