三明市A片区高中联盟校2015-2016学年第一学期阶段性考试

高二数学（文科）试卷

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．已知命题
，则
为( )

A．
B．

C．
D．
[:]

2．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )

A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32 C．5,6,7,8,9 D．6,16,26,36,46

3．如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为(　　)

A． B． C． D．

4．双曲线
的渐近线方程为（ ）

A.
B.
C．
D．

5．甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示．

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；

②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等；

③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差．

以上说法正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

6．用秦九韶算法求多项式
的值，则
的值为(　　)

A．98 B．105 C．112 D．119

7．运行如右图的程序后，输出的结果为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知椭圆
过点
作弦且弦被
平分，则此弦

所在的直线方程为（ ）

A．
B．

C．
D．

9．已知
为函数
的导函数，则它们的图象可能是（ ）

A．　 　　　　　　　　B． C． D．

10．已知倾斜角为
的直线
过抛物线
的焦点，且与抛物线交于
两点，则
（其中
为坐标原点）的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知
都是定义在
上的函数，且满足以下条件：

①


；②
；③
．

若
，则实数
的值为 ( )

A．
B．2 C．
D．2或

12．如图，直线
与抛物线
交于点
，与

圆
的实线部分（即在抛物线开口内

的圆弧）交于点
，
为抛物线的焦点，则
的

周长的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．

13．将十进制数
化为八进制数为 .

14．已知变量
与
的取值如下表：

2

3gkstkCom

5

6





7





12



从散点图可以看出
对
呈现线性相关关系，则
与
的线性回归直线方程
必经过的定点为　　　　　　　　　．　　　

15．已知
为圆
上的动点，
，线段
的垂直平分线与直线
的交点为
，点
的轨迹方程为 ．

16．已知函数
，现有下列五种说法：

①函数
为奇函数；

②函数
的减区间为
,增区间为
；

③函数
的图象在
处的切线的斜率为
；

④函数
的最小值为
.[:]

其中说法正确的序号是_______________（请写出所有正确说法的序号）．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

设命题
：
；

命题
：
.

若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.

18．（本小题满分12分）

某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重
数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图（如图所示）．已知第三组
的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过
属于偏胖，低于
属于偏瘦．观察图形的信息，回答下列问题：

(1)求体重在
内的频率，并补全频率分布直方图；

（2）用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取
人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人？

（3）根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．

19. （本小题满分12分）

（1）执行如图所示的程序框图，如果输入的
，若输出的
的取值范围记为集合
，求集合
；

（2）命题
：
，其中集合
为第（1）题中的
的取值范围；

命题
：函数
有极值；

若
为真命题，求实数
的取值范围.

20．（本小题满分12分）

已知双曲线
：
.

（1）有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4．若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为
，求双曲线
的离心率小于
的概率；

（2）在区间
内取两个数依次记为
，求双曲线
的离心率小于
的概率.

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C:
的中心在坐标原点
，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若斜率为
的直线
经过点
，与椭圆C相交于A，B两点，且
，求
的取值范围．

22. （本小题满分12分）

已知函数
．

（1）当
时,求曲线
在点
处的切线方程；

（2）当
时，若函数
在
上的最小值记为
，请写出
的函数表达式.

三明市A片区高中联盟校2015-2016学年第一学期阶段性考试

高二数学（文科）试卷参考答案

一、ＤＤＣＤ　ＢＢＣＤ　　ＡＢＡＢ

二、13．
14．
15．
16．③④

三、

17．解：由
：

解得
或
.……………………………… 3分

由
：
得
，

解得
或
.……………………………… 6分

∵
是
的必要不充分条件，∴
是
的充分不必要条件. …………………… 8分

∴
，则
.

∴实数
的取值范围是
.……………………………… 10分

18．解：（1）体重在
内的频率

补全的频率分布直方图如图所示. ……………4分

（2）设男生总人数为
，

由
，可得

体重超过
的总人数为

在
的人数为
，应抽取的人数为
，

在
的人数为
，应抽取的人数为
，

在
的人数为
，应抽取的人数为
.

所以在
，
，
三段人数分别为3，2，1.…………………… 8分

（3）中位数为60kg

平均数为

(kg)…12分

19．解：（1）由程序框图可知，当
时，
，则
.

当
时，

∵该函数的对称轴为
，

∴该函数在
上单调递增，在
上单调递减.

∴

∴

综上知，
，集合
……………………………… 4分

（１）函数
有极值,且
，

有两个不相等的实数根，即
解得
或

即命题
：
或
.……………………………… 8分

为真命题，

则
，解得
；

∴实数
的取值范围是
.……………………………… 12分

20．解：双曲线的离心率
．

因为

．……………………………… 2分

(1) 因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，

所以基本事件
共有16个：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．

设“双曲线
的离心率小于
”为事件A，则事件A所包含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有12个．

故双曲线
的离心率小于
的概率为
．…………………………… 7分

(2) ∵

∴

所以以
为横轴，以
为纵轴建立直角坐标系，如图所示，

，

由几何概型可知，双曲线
的离心率小于
的概率为
．……………………………… 12分

21．解：（1）∵椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形，

∴椭圆C的标准方程为
.……………………………… 4分

(2) 设直线
的方程为
,设A（x1，y1），B（x2，y2）

联立
，消去
可得（

∵直线
与椭圆C相交于A，B两点，∴

由
解得

设
,

则
,
……………………………… 7分

解得
∴

所以
的取值范围是
.……………………………… 12分

22．解：（1）∵
，∴

当
时，

曲线
在点
处的切线方程为
即
.……………………………… 3分

（2）

,由
得
，由
得

在
上为减函数，在
上为增函数．……………………………… 5分

①当
时，
在
上为增函数．

在
上为减函数，在
上为增函数．…………… 7分

②当
时，
在
上为减函数，在
上为增函数．

……………………………… 9分

③当
时，
在
上为减函数．

……………………………… 11分

综上所述，
……………………………… 12分

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