哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试

高二理科数学

一.选择题(共12题,每题5分)

1．复数
（其中
为虚数单位）的虚部是( )

A．
B．
C．
D．

2. 已知
,
.若
是
的必要不充分条件,则实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

3. 某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15:3:2．为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为
的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量
为（ ）

A.20 B.30 C．40 D．80

4．已知直线
平面
,直线
平面
,给出下列命题：

①
∥
； ②
∥
； ③
∥
④
∥
；

其中正确命题的序号是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④

5. 下列说法正确的是（ ）

A. 命题“若
，则
”的逆否命题为真命题

B.“
”是“
”的必要不充分条件

C. 命题“
”的否定是“
”

D. 命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

6．设随机变量
服从正态分布
，若
，则

=( ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如右图，已知
为如图所示的程序框图输出结果，二项式
的

展开式中含有非零常数项，则正整数
的最小值为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

8．先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上

的点数分别为
，设事件
为“
为偶数”，事件
为“
中有偶数，且
”，则概率

=( )

A．
B．
C．
D．

9．已知
展开式的二项式系数的最大值为
，系数的最大值为
，则
=( )

A．
B．
C．
D．

10．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊

花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是( )

A．1 2 B．24 C．36 D．48

甲　

茎

　乙



5　7

1

6　8



8　8　2

2

3　6　7



11. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如右图所示. 设
分

别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差,
分别

表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ）

A.
,
B.
，

C.
，
D.
，

12．已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
⊥平面
，
，
，

，
，则球
的表面积为( )

A．
B．
C．
D．

二.填空题(共4题,每题5分)

13．袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸3次，3次摸到的红球比白球多1次的概率为___________________．

14. 设
为正整数,
，经计算得
，
,

，……观察上述结果，对任意正整数
，可推测出一般结论是____________ .

15. 向面积为
的
内任投一点
，则
的面积小于
的概率为 .

16．如图，在直三棱柱
中，
，点

是线段
上的一点，且
，
，则点
到平面

的距离为_______.

三.解答题(共6题,共70分)

17. (本小题满分10分)

某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利润
（元）与该周每天销售这种服装件数

之间有如下一组数据：

3

4

5

6

7

8

9





66

69

73

81

89

90

91



已知
.

(1)求
； （2）求纯利润
与每天销售件数
之间的回归方程.

(参考公式：
)

18.（本小题满分12分）

我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0-50为优秀，各类人群可正

常活动.环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为
，
，
，
，由此得到本的空气质量指数频率分布直方图，如图.

(1) 求
的值；

(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；

(3) 如果空气质量指数不超过
，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取
天的数值，其中达到“特优等级”的天数为
，求
的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图三棱柱
中，侧面
为菱形，
.

(1) 证明：
；

(2)若
，
，
,

求二面角
的余弦值.

20．(本小题满分12分)

某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：

组别

理科

文科



性别

男生

女生

男生

女生



人数

4

4

3

1



学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．

(Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率；

(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望
．

21．(本小题满分12分)

如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图. 在直观图中，
,
是

的中点. 侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

（1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据；

（2）求证：
∥平面
；

（3）试问在边
上是否存在点
，使
⊥平面
. 若存在，确定点
的位置；若不存在，

请说明理由.

22.（本小题满分12分）

设直线
与椭圆
相交于
两个不同的点，与
轴相交于点
，记
为坐标原点.

（1）证明：
；

（2）若
, 求△
的面积取得最大值时的椭圆方程.

高二理科数学答案

一.选择题

CACDD CBBAB BD

二.填空题

13.
14.
15.
16.3

三.解答题

17.(1)

(2)

18.(1) 解：由题意，得
， ……………1分

解得
. ……………2分

（2）解：
个样本中空气质量指数的平均值为

……………3分

由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为
. …………4分

（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在
内为“特优等级”，

且指数达到“特优等级”的概率为
，则
………5分

的取值为
， ………6分

，
，

，
. ……………10分



1

2





P











 ∴
的分布列为：

……11分

∴
. ………12分

（或者
）

19. (Ⅰ)连结
，交
于
，连结
．因为侧面
为菱形，所以

?，

且
为
与
的中点．又
，所以
平面
，故
?又?
，故
……… 4分

（Ⅱ）因为
且
为
的中点，所以
??

又因为
，所以
.

故
，从而
,
两两互相垂直．?

以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，
为单位长，建立如图所示空间直角坐标系
．?因为
，所以
为等边三角形．又
，则

，
，
，

，

设
是平面的法向量，则

， 即
所以可取

设
是平面的法向量，则
， 同理可取

则
，所以二面角
的余弦值为
. 12分

20. 解：(Ⅰ)
（4分）

(Ⅱ) 由题意得
，于是
的分布列为

0

1

2

3















（只写出正确分布列表格的扣4分）
的数学期望为
（12分）

21.（1）正视图如图所示.（注：不标中间实线扣1分）………………2分

（2）证明：俯视图和侧视图，得
，

,
，
，
，
平面
,

.取
的中点
，连接
、
，

则
，且
…4分

∴
平行且等于
, ∴四边形EAFM是平行四边形，

∴
，又

平面
，

∴

平面
.…………………………7分

（3）解，以
为原点，以
的方向为
轴的正方向，
的方

向为
轴正方向，
的方向为
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则有
（0，0，0），
（0，0，2），
（0，2，0），

（－2，0，3），
（0，2，1），
（－2，0，0）.

设
（－2，－2，2），
（0，－2，1），

（2，2，0），
（2，2，1）.

假设在
边上存在点
满足题意，

∴边
上存在点
，满足
时，
⊥平面
………………12分

22. (I）解：依题意，直线
显然不平行于坐标轴，故

将
，

得
①

由直线l与椭圆相交于两个不同的点

，即
… 5分

（II）解：设
由①，得

因为
，代入上式，得
……………8分

于是，△
的面积

其中，上式取等号的条件是

由

将
这两组值分别代入①，均可解出

所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是
………12分

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