哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试

高二数学试题（文史类）

满分：150分 时间：120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1. 下面是关于复数z＝的四个命题：

p1：|z|＝2； p2：z2＝2i； p3：z的共轭复数为1＋i； p4：z的虚部为－1.

其中的真命题为 (　 　)．

A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4

2. 将一个正三棱柱截去一个三棱锥，得到几何体，则该几何体的正视图为（ ）

3. 以下判断正确的个数是（ ）

①相关系数
，
值越小，变量之间的相关性越强.

②命题“
”的否定是“不存在
，
”.

③“
”为真是“
”为假的必要不充分条件

④若回归直线的斜率估计值是
，样本点的中心为
,则回归直线方程是
；

⑤在根据身高预报体重的线性回归模型中，
说明了身高解释了64﹪的体重变化

A.2 B. 3 C. 4 D.5

4. “
”是直线
与直线
相交的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）

A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x

6. 已知
点在球O的球面上,
,
, 球心O到平面
的距离为1，则球O的表面积为（ ）

A.

7. 已知抛物线关于
轴对称，它的顶点在坐标原点
，并且经过点
，若点
到该抛物线的焦点距离为3，则
（ ）

A.
B.
C. 3 D. 4

8. 运行右图所示的程序框图，若输出结果为
，则判断框中

应该填的条件是(　　)．

A．k>5 　　 B．k>6

C．k>7 　　 D．k>8

9. 直线
与圆
交于E、F两点，则
EOF（O是原点）的面积为( )

A.
　　 B.
　　 C.
　 D.

10. 设有算法如图所示：如果输入A=225，B=135，

则输出的结果是（ ）

A．90 B．45 C．2 D．0

11．我们知道，在边长为
的正三角形内任一点到三边的

距离之和为定值
，类比上述结论，在棱长为
的

正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 在区间
和
上分别任取一个数，记为
，则方程
表示焦点在
轴上且离

心率小于
的椭圆的概率为（ ）

.

.

.

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13. ABCD是复平面内的平行四边形，A,B,C三点对应的复数分别

是
，
，
，则点D对应的复数为

14. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，

第n行（n≥3）从右向左的第3个数为　

15. 设命题
实数
满足
,其中
；命题
实数
满足
，且
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围为

16. 点P在正方体
的面对角线
上运动，

下列四个命题：①三棱锥
的体积不变；

②
∥平面
；

③
；

④平面
平面
.

其中正确的命题序号是 .

三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17. （本小题满分10分）

哈尔滨市投资修建冰雪大世界，为了调查此次修建冰雪大世界能否收回成本，组委会成立了一个调查小组对国内参观冰雪大世界的游客的消费指数(单位：百元)进行调查，在调查的1000位游客中有100位哈尔滨本地游客，把哈尔滨本地游客记为A组，内外地游客记为B组，按分层抽样从这1000人中抽取A,B组人数如下表：

消费指数（百元）













人数

3

4

6

5

2



A组:

B组:

消费指数（百元）













人数

9

36



54

9





（1）确定
的值，再分别在答题纸上完成A组与B组的频率分布直方图；

（2）分别估计A,B两组游客消费指数的平均数，并估计被调查的1000名游客消费指数的平均数.

18. （本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，平面

平面
，侧面
是等腰直角三角形，
，底面
是直角梯形，且
∥
，
，
，

（1）求证
⊥
；

（2）求三棱锥
的体积；

（3）若点
是线段
上一点，当
// 平面
时，求
的长.

19.（本小题满分12分）

为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表:

常喝

不常喝

合计



肥胖



2





不肥胖



18





合计





30



已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为
.

（1）请将上面的列联表补充完整

（2）是否有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由

（3）4名调查人员随机分成两组，每组2人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理. 求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率.

参考数据：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



(参考公式：
)

20. （本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）求三棱锥C－AB1E的高．

21. （本小题满分12分）

已知椭圆
的对称中心为原点
，焦点在
轴上，左右焦点分别为
和
，且
，

点
在该椭圆上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过
的直线
与椭圆C相交于A，B两点，若
的面积为
，求以
为圆心且与直线
相切圆的方程．

22. （本小题满分12分）

已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，求抛物线的方程.

选择题：

CCBBC ACBDB AB

填空题：

13.
14.
15.
16. ①②④

三、解答题：

17.解：（1）

（2）A组：

B组：

则1000名游客消费的平均数为

18.解：（1）证明：取
中点
，连结
，
．

因为
，所以
．

因为四边形
为直角梯形，
，
，

所以四边形
为正方形，所以
．

所以
平面
． 所以
．

（2）由
，面

面
易得

所以，

（3）解：连接
交于点，面

面
.

因为
// 平面
，所以
//
．

在梯形
中，有
与
相似，可得

所以，

19.解：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，

常喝

不常喝

合计



肥胖

6

2

8



不胖

4

18

22



合计

10

20

30



 （2）由已知数据可求得：

因此有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关。

（2）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表

小组

1

2

3

4

5

6



收集数据

甲乙

甲丙

甲丁

乙丙

乙丁

丙丁



处理数据

丙丁

乙丁

乙丙

甲丁

甲丙

甲乙



分组的情况总有6中，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种，

所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是
。

20.证明：取AB1的中点G，连接EG，FG，

∵F、G分别是AB、AB1的中点，∴FG∥BB1，FG＝BB1.∵E为侧棱CC1的中点，

∴FG∥EC，FG＝EC，∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥ EG，

∵CF⊥平面
，∴EG⊥平面

又EG
平面
，∴平面
⊥平面
…… 6分

(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∴BB1⊥平面ABC.

又AC?平面ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，

∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1，

∴VA－EB1C＝S△EB1C·AC＝××1＝.

∵AE＝EB1＝，AB1＝，∴S△AB1E＝，∵VC－AB1E＝VA－EB1C，

∴三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高为＝.

21.（1）椭圆C的方程为

（2）①当直线
⊥x轴时，可得A（-1，-
），B（-1，
），
A
B的面积为3，不合题意．

②当直线
与x轴不垂直时，设直线
的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：

，显然
＞0成立，设A
，B
，则

，
，可得|AB|=

又圆
的半径r=
，∴
A
B的面积=
|AB| r=
=
，化简得：17
+
-18=0，得k=±1，∴r =
，圆的方程为

22.解:联立方程消去y得mx2－2x－2＝0，

依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0?m>－,

设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则 ()

∵P是线段AB的中点，∴P(，)，即P(，yP)，∴Q(，).

得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)，

若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，

则·＝0，即(x1－)·(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0，

结合()化简得－－＋4＝0，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，

而2∈(－，＋∞)，－?(－，＋∞).∴m＝2

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