厦门市第一中学高二上学期期中考试文科数学试卷

2015.11

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．

1.
与
两数的等比中项是

A.2 B.-2 C.±2 D.以上均不是

2. 在等差数列{an}中，若a1,a4是方程x2-x-6=0的两根，则a2+a3的值为

A.6 B.-6 C.-1 D.1

3.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f ＝f ，则f 等于

A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0

4.设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是

A.a＜b＜
＜
B.a＜
＜
＜b

C.a＜
＜b＜
D.
＜a＜
＜b

5. 在△ABC中，角A=60°，AB=2，且△ABC的面积S△ABC=
，则BC的长为

A.
B.3 C.
D.7

6.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

7．已知数列
满足
，则前200项的和为

A．0 B．
C．
D．

8.数列{an}中，an=
,则该数列最大项是

A.
B.
C.
D.

9. 已知
且sin
,sin 2
,sin 4
成等比数列，则
的值为

A.
B.
C.
D.

10．方程sin2x＋sin x－1-m=0在实数集上有解，则实数m的范围为

A．
B.
C.
D.

11.已知x,y满足约束条件
，若z=ax+y的最大值为4，则a的值为

A.3 B.2 C.-2 D.-3

12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若2b=a+c,则角B的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．

13. 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=，b=2,则边长c的取值范围

14.等比数列{an}的前n项和为Sn，若
，则
的值为________．

15. 等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn，若
，则
=

16.已知
是方程
的两根，且

则
的范围

三、解答题：本大题共6小题，17题10分，16-21题各12分，22题22分，70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．

17．函数

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2) 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
，求△ABC的面积的最大值

18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13.

(1)求an及Sn；

(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.

19.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:

规格类型

钢板规格

A规格

B规格

C规格



第一种钢板

2

1

1



第二种钢板

1

2

3



今需A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品,且使所用的钢板的张数最少？

20.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8 km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5 km.

(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；

(2)求景点C和景点D之间的距离．参考数据：sin75°=

21.已知函数

（1）若当
时
在
上恒成立，求
范围

（2）解不等式

22.设数列
的前n项和为
.已知

（I）求
的通项公式；

（II）若数列
满足
，
的前n项和

①求

②若
对于
恒成立，求
与
的范围

福建省厦门第一中学2015—2016学年度第一学期期中考试

高二年文科数学试卷参考答案

一、选择题：C D B B A D B C C B B D

二、填空题： （1,3） 3

三、解答题：

17．函数

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2) 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
，求△ABC的面积的最大值

解：(1)

所以最小正周期为

（2）

由
得到
所以
，所以

所以，
，由于
，所以

解得
取等号，所以△ABC的面积的最大值为

18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13.

(1)求an及Sn；

(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.

解　(1)设等差数列{an}的公差为d，因为S5＝5a3＝35，a5＋a7＝26，

所以解得a1＝3，d＝2，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，

Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.

(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝＝＝－，

所以Tn＝＋＋…＋＝1－＝.

19.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:

规格类型

钢板规格

A规格

B规格

C规格



第一种钢板

2

1

1



第二种钢板

1

2

3



今需A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品,且使所用的钢板的张数最少？

解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,可得
且x、y都是整数,求使z=x+y取得最小值时的x、y.

首先作出可行域,其次平移直线z=x+y,可知直线经过点(
),此时 x=
,y=
.z=x+y有最小值11
,但(
,
)不是最优解.

首先在可行域内打网格,其次推出点A(
,
)附近所有整点,接着平移直线l:x+y=0,会发现当平移至B(4,8)、C(3,9)时直线与原点的距离最近,即z的最小值为12.

20.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8 km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5 km.

(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；

(2)求景点C和景点D之间的距离．参考数据：sin75°=

解：(1)在△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝8 km，AB＝5 km，设DB＝x km，

则由余弦定理得52＝82＋x2－2×8×x·cos30°，

即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3.

∵4＋3>8，舍去，∴x＝4－3，

∴这条公路长为(4－3)km.

(2)在△ADB中，＝，

∴sin∠DAB＝＝＝，

∴cos∠DAB＝.在△ACD中，∠ADC＝30°＋75°＝105°，

∴sin∠ACD＝sin[180°－(∠DAC＋105°)]＝sin(∠DAC＋105°)

＝sin∠DACcos105°＋cos∠DACsin105°＝·＋·＝.

∴在△ACD中，＝，∴＝，∴CD＝ km.

21.已知函数

（1）若当
时
在
上恒成立，求
范围

（2）解不等式

解：（1）只需
解得

（2）

当
时得到

当
时，化为
当
时得到
或

当
时得到
当
时得到
或

当
时，化为
当
时得到

当
时得到
当
时得到
综述。。。。。。。。。。。

22.设数列
的前n项和为
.已知2
=
+3.

（I）求
的通项公式；

（II）若数列
满足
，求
的前n项和
，并求
的范围

解：（I）因为
所以，
，故

当
时，

所以

②由
知道
递增，而
当

若
对于
恒成立，有

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/