2015-2016学年吉林省长春十一中高二（上）期初数学试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．若直线x=1的倾斜角为α，则α（　　）

A．等于0 B．等于
 C．等于
 D．不存在

2．已知ab＞0，bc＜0，则直线ax+by+c=0通过（　　）

A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限

C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

3．直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（　　）

A．（0，0） B．（0，1） C．（3，1） D．（2，1）

4．从点P（m，3）向圆C：（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值是（　　）

A．2
 B．5 C．
 D．4+


5．已知直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，那么弦AB的长等于（　　）

A．3
 B．2
 C．
 D．1

6．若l1：x+（1+m）y+（m﹣2）=0，l2：mx+2y+6=0的图象是两条平行直线，则m的值是（　　）

A．m=1或m=﹣2 B．m=1 C．m=﹣2 D．m的值不存在

7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

A．﹣
或﹣
 B．﹣
或﹣
 C．﹣
或﹣
 D．﹣
或﹣


8．直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（　　）

A．x+2y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=0

9．在坐标平面上，不等式组
所表示的平面区域的面积为（　　）

A．
 B．
 C．
 D．2

10．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．10
 B．20
 C．30
 D．40


11．已知点（1，﹣2）和
在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（　　）

A．
 B．
 C．
 D．


12．已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且
=0，则k=（　　）

A．2 B．±2 C．±
 D．


二、填空题（每小题5分，共20分）

13．圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值为　　　　　　．

14．过点A（1，2），且与直线x﹣2y+3=0垂直的直线方程为　　　　　　．

15．若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则
的最小值为　　　　　　．

16．已知a＞0，x，y满足
若z=2x+y的最小值为1，则a=　　　　　　．

三．解答题：（本大题共6小题，共70分）

17．已知△ABC的顶点A（3，2），B（1，0），C（﹣1，4），求：

（1）AB边上的高所在直线的方程；

（2）AC边上的中线所在直线的方程；

（3）△ABC外接圆方程．

18．求经过点A（﹣2，2）并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程．

19．如图，已知圆C：x2+y2+10x+10y=0，点A（0，6）．

（1）求圆心在直线y=x上，经过点A，且与圆C相切的圆N的方程；

（2）若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的
，求直线m的方程．



20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．

（1）当m为何值时，方程C表示圆．

（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且MN=
，求m的值．

21．已知点A（2，0），点B（﹣2，0），直线l：（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R）．

（1）求直线l所经过的定点P的坐标；

（2）若直线l与线段AB有公共点，求λ的取值范围；

（3）若分别过A，B且斜率为
的两条平行直线截直线l所得线段的长为
，求直线l的方程．

22．在平面直角坐标系xoy中，已知经过原点O的直线l与圆C：x2+y2﹣4x﹣1=0交于A，B两点．

（1）若直线m：ax﹣2y+a+2=0（a＞0）与圆C相切，切点为B，求直线l的方程；

（2）若OB=2OA，求直线l的方程；

（3）若圆C与x轴的正半轴的交点为D，求△ABD面积的最大值．

2015-2016学年吉林省长春十一中高二（上）期初数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．若直线x=1的倾斜角为α，则α（　　）

A．等于0 B．等于
 C．等于
 D．不存在

【考点】直线的倾斜角．

【专题】计算题．

【分析】由题意知：由直线方程求斜率，再求倾斜角为α．

【解答】解：由题意知直线的斜率不存在，故倾斜角α=
，

故选C．

【点评】本题考查了直线方程、斜率和倾斜角之间的关系，属于基础题．

2．已知ab＞0，bc＜0，则直线ax+by+c=0通过（　　）

A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限

C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

【考点】确定直线位置的几何要素．

【专题】直线与圆．

【分析】由条件得到直线的斜率和直线的截距，即可得到直线的位置．

【解答】解：直线的斜截式方程为y=
x﹣
，

∵ab＞0，bc＜0，

即直线的斜率k=
，截距
，

∴直线ax+by+c=0通过第一，二，四象限．

故选：A．

【点评】本题主要考查直线的方程的应用，将方程转化为斜截式是解决本题的关键，比较基础．

3．直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（　　）

A．（0，0） B．（0，1） C．（3，1） D．（2，1）

【考点】过两条直线交点的直线系方程．

【专题】计算题．

【分析】将直线的方程变形为k（x﹣3）=y﹣1 对于任何k∈R都成立，从而有
，解出定点的坐标．

【解答】解：由kx﹣y+1=3k得k（x﹣3）=y﹣1

对于任何k∈R都成立，则
，

解得 x=3，y=1，

故直线经过定点（3，1），故选 C．

【点评】本题考查直线过定点问题，把直线方程变形为参数乘以一个因式再加上另一个因式等于0的形式恒成立，故这两个因式都等于0．

4．从点P（m，3）向圆C：（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值是（　　）

A．2
 B．5 C．
 D．4+


【考点】直线与圆的位置关系．

【专题】综合题．

【分析】过A作x轴的垂线，与y=3交于点P，此时过点P作圆的切线PQ，切线长PQ最小，连接AQ，得到AQ垂直于PQ，先利用两点间的距离公式求出AP的长，然后在直角三角形APQ中，利用勾股定理即可求出PQ．

【解答】解：如图，当PA⊥x轴时，过P点作的切线长最短，

根据PQ为圆的切线，Q为切点得到AQ⊥PQ，

由圆的方程得到圆心（﹣2，﹣2），半径为1

在直角三角形APQ中，AQ=1，PA=3﹣（﹣2）=5，

根据勾股定理得PQ=
=2
．

故选A



【点评】此题考查学生掌握切线垂直于经过切点的直径，灵活运用勾股定理解决实际问题，是一道中档题．本题的突破点是找出切线长的最小值．

5．已知直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，那么弦AB的长等于（　　）

A．3
 B．2
 C．
 D．1

【考点】点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质．

【专题】直线与圆；空间位置关系与距离．

【分析】解：利用圆的方程确定其圆心与半径，求得圆心到直线的距离，再由勾股定理确定相应的弦长．

【解答】解：由已知，圆x2+y2=4的圆心坐标为O（0，0），半径r=2．

则圆心O（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离为

=1．

∴弦长AB=2
=2
=2
．

故选：B．

【点评】本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式等知识，属于基础题．

6．若l1：x+（1+m）y+（m﹣2）=0，l2：mx+2y+6=0的图象是两条平行直线，则m的值是（　　）

A．m=1或m=﹣2 B．m=1 C．m=﹣2 D．m的值不存在

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．

【专题】计算题；直线与圆．

【分析】根据两条直线平行的条件，结合题中数据建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．

【解答】解：∵l1：x+（1+m）y+（m﹣2）=0，l2：mx+2y+6=0，且直线l1∥l2，

∴
，解之得m=1或﹣2．

故选：A．

【点评】本题给出两条直线互相平行，求参数m的值．着重考查了两条直线平行位置关系的判定及其应用的知识，属于基础题．

7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

A．﹣
或﹣
 B．﹣
或﹣
 C．﹣
或﹣
 D．﹣
或﹣


【考点】圆的切线方程；直线的斜率．

【专题】计算题；直线与圆．

【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．

【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），

故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．

∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，

∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d=
=1，

化为24k2+50k+24=0，

∴k=
或﹣
．

故选：D．

【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．

8．直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（　　）

A．x+2y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=0

【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．

【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．

【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x=1对称点为（2﹣x，y）

在直线x﹣2y+1=0上，∴2﹣x﹣2y+1=0化简得x+2y﹣3=0故选答案D．

解法二：根据直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，

再根据两直线交点在直线x=1选答案D

故选D．

【点评】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．

9．在坐标平面上，不等式组
所表示的平面区域的面积为（　　）

A．
 B．
 C．
 D．2

【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据对应图形，求出对应的面积即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，

则A（0，1），A到直线y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0的距离d=
，

由
得
，即C（
，﹣
），

由
，得
，即B（﹣1，﹣2），

则|BC|=
=
，

则△ABC的面积S=
=
，

故选：B



【点评】本题二元一次不等式组表示平面区域，根据条件作出平面区域，根据三角形的面积公式是解决本题的关键．

10．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．10
 B．20
 C．30
 D．40


【考点】直线与圆相交的性质．

【专题】压轴题．

【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．

【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，

由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，

根据勾股定理得最短的弦|BD|=2
=4
，且AC⊥BD，

四边形ABCD的面积S=|
AC|?|BD|=
×10×4
=20
．

故选B

【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．

11．已知点（1，﹣2）和
在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（　　）

A．
 B．
 C．
 D．


【考点】直线的斜率．

【专题】直线与圆．

【分析】因为点（1，﹣2）和
在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，那么把这两个点代入ax﹣y﹣1，它们的符号相反，乘积小于0，求出a的范围，设直线l倾斜角为θ，则a=tanθ，再根据正切函数的图象和性质即可求出范围．

【解答】解：因为点（1，﹣2）和
在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，

所以，（a+2﹣1）（
a﹣1）＜0，

即：（a+1）（a﹣
）＜0，

解得﹣1＜a＜
，

设直线l倾斜角为θ，

∴a=tanθ，

∴﹣1＜tanθ＜
，

∴0＜θ＜
，或
＜θ＜π，

故选：C．

【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，点与直线的位置关系，是中档题．

12．已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且
=0，则k=（　　）

A．2 B．±2 C．±
 D．


【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．

【专题】平面向量及应用．

【分析】由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的
倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值．

【解答】解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，

故弦心距等于半径的
倍，等于
=
，

故有
=
，求得 k=±2，

故选：B．

【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值为　4　．

【考点】直线与圆的位置关系．

【专题】计算题；数形结合．

【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d=
，圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求

【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d=


∴圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣1=4

故答案为：4



【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解题的关键是把所求的距离转化为求圆心到直线的距离，要注意本题中的BC是满足圆上的点到直线的距离的最大值

14．过点A（1，2），且与直线x﹣2y+3=0垂直的直线方程为　2x+y﹣4=0　．

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．

【专题】直线与圆．

【分析】由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．

【解答】解：∵直线x﹣2y+3=0的斜率为
，

∴由垂直关系可得要求直线的斜率为﹣2，

∴方程为y﹣2=﹣2（x﹣1）

化为一般式可得2x+y﹣4=0

故答案为：2x+y﹣4=0

【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．

15．若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则
的最小值为　
　．

【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．

【专题】计算题．

【分析】由题意可知圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的圆心（2，1）在直线ax+2by﹣2=0上，可得a+b=1，而
=（
）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值

【解答】解：由圆的性质可知，直线ax+2by﹣2=0即是圆的直径所在的直线方程

∵圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=13，

∴圆心（2，1）在直线ax+2by﹣2=0上

∴2a+2b﹣2=0即a+b=