高2017级高二（下）第一次月考数学试题（文）

一、选择题

1、复数i(2－i)＝(　A　)

A．1＋2i　　　　　B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i

2、y＝xn在x＝1处切线方程为y＝－4x，则n的值为(　B　)

A．4 B．－4 C．1 D．－1

3、如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有线性相关关系，其线性回归方程是
=﹣0.7x+
，则
=（ C ）

月份x

 1

 2

 3

 4



 用水量y

 4.5

4

3

2.5



A．5.15 B．5.20 C．5.25 D．5.30

4、用反证法证明命题：“m、n∈N，mn可被3整除，那么m、n中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为(　B　)

A．m、n都能被3整除 B．m、n都不能被3整除

C．m、n不都能被3整除 D．m不能被3整除

5、函数f(x)＝x－lnx的递增区间为(　C　)

A．(－∞，1) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)

6、已知函数
在点P（1，m）处的切线方程为
，则
（ D ）

A、0 B、1 C、2 D、3

7．设P为曲线C：
上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为
，则点P横坐标的取值范围为（ A ）

A．
B．
C．
D．

8、一个几何体的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积为( A )

A.4(9+2
) cm2

B.
cm2

C.
cm2

D.
cm

9、函数
的图象在
处的切线与圆
的位置关系是( B )

A 相切 B. 相交但不过圆心 C. 过圆心 D. 相离

10、已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2016(x)等于(　A　)

A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx

11．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－1处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(
　C　)

12．已知二次函数
的导数
，且
的值域为
，则
的最小值为（ B ）

A.3 B.2 C.
D.

试题分析：由已知
，因为
，所以
，又
的值域为
，所以
，并且
，即
且
，则
，当且仅当
时，等号成立.故正确答案为B.

二、填空题

13、已知曲线
上一点
，则曲线在P点处的切线的斜率为 12

14、f(x)＝
，若f ′(1)＝5，则a等于___2______ .

15、若a>0,且
-ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的取值范围是 0

16、设曲线
在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为
,令
，则
的值为 -2 .

三、解答题

17、(本题10分，（1）小问5分，（2）小问5分)

已知函数

（1）求
的单调区间；

（2）若
在区间[－2，2].上的最大值为20，求a的值

解：（1）
令
，解得

所以函数
的单调递增区间为

减区间为（-1，3）

（2）a=13

18．(本题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)

为了调查中学生对玩游戏是否影响学习的看法，询问了初中、高中的200个学生，询问的结果记录如下：初中110名学生中有45人认为不会影响学习，有65人认为会影响学习，高中90名学生中有55人认为不会影响学习，有35人认为会影响学习；

（1）根据以上数据填写下列
的列联表；

（2）据此回答，能否有99%的把握断定年级不同对玩游戏所持态度也不同？

附表：

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001





3．841

5．024

6．635

7．789

10．828





【答案】（1）列联表见解析；（2）能．

试题分析：（1）由题给数据，将数据进行分组列表；（2）利用公式
求出观测值，若观测值大于临界值，则可确认关系．

试题解析：（1）解：依题意：
列联表如下：

无影响

有影响

合计



初中

45

65

110



高中

55

35

90



合计

100

100

100





（2）解：由（1）可以计算出
．

，

有
的把握说：学生因年级不同时对玩游戏所持态度也不同．

19. (12分，（1）小问4分，（2）小问8分)

已知函数
，且
在
处取得极值.

⑴求
的值；⑵若当
时，
恒成立，求
的取值范围；

解： ⑴

∵
在
处取得极值， ∴

∴
经检验，符合题意.

⑵ ∵

　



　

　

　











　











　





　



　



　



　



 ∴当
时，
有极大值
 又
 ∴
时，
最大值为

∴
故

20、(本题10分，（1）小问5分，（2）小问5分)

如图，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P - ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．

解：(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．

又E为PD的中点，所以EO∥PB.

EO?平面AEC，PB?平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(2)V＝××PA×AB×AD＝AB，

由V＝，可得AB＝.

作AH⊥PB交PB于点H.

由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，

因为PB∩BC＝B，所以AH⊥平面PBC.

又AH＝＝，

所以点A到平面PBC的距离为

21、(12分，（1）小问5分，（2）小问7分)

设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.

(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；

(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数；

【解】　(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，则f′(x)＝，

∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，

当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，

∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，

∴f(x)的极小值为2.

(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)，

令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0)．

设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，

则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，

当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．

∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点．

∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.

又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，

可知

①当m＞时，函数g(x)无零点；

②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；

③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；

综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点；

当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；

当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点．

22、(12分，（1）小问4分，（2）小问8分)

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且抛物线y2＝4x的焦点是椭圆M的一个焦点．

（1）求椭圆M的方程；

（2）设直线l与椭圆M相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．

（1）由题意，抛物线的焦点为(，0)， 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．

则c＝，由e＝，得a＝2，所以b2＝2．

所以椭圆M的方程为＋＝1．

（2）当直线l斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m，

则由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0．

Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－4)＝8(2＋4k2－m2)>0…………①

设A，B，P点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0)，则

x0＝x1＋x2＝－，y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，

由于点P在椭圆M上，所以＋＝1．从而＋＝1，

化简，得2m2＝1＋2k2，经检验满足①式．

又因为点O到直线l的距离为d＝＝＝≥＝．

当且仅当k＝0时等号成立．

当直线l斜率不存在时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(－2,0)或(2,0)，

直线l的方程为x＝±1，所以点O到直线l的距离为1>．

所以点O到直线l的距离最小值为．

……………………12分