珠海市第二中学2015－2016学年度第二学期期中考试

高二年级数学（理科）试题

考试时间120分钟，总分150分， 命题人：高贵彩 审题人：廖以翔

注意事项：

1．本试卷共4页,22小题,答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目．

　　2．选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．

　　3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．

4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.复数2+3i的共轭复数是（ ）

A.2-3i B.-2+3i C.-2-3i D.3-2i

2. 下列函数中，x＝0是其极值点的函数是(　　)

A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cosx C．f(x)＝sinx－x D．f(x)＝

3.下面使用类比推理，得到的结论正确的是 （ ）

A.直线a,b,c,若a//b,b//c,则a//c。类比推出:向量
，若
，则
a//c.

B.同一平面内,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.类比推出:空间中,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.

C.实数
,若方程
有实数根,则
.

类比推出:复数
,若方程
有实数根,则
.

D.以点
为圆心,
为半径的圆的方程为
.

类比推出:以点
为球心,
为半径的球面的方程为
.

4. 已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、b、c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有(　　)

A．125个 B．100个 C．60个 D．48个

5. 下面是一段演绎推理：

大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；

小前提：已知直线b∥平面α，直线a?平面α；

结论：所以直线b∥直线a. 在这个推理中(　　)

A．大前提正确，结论错误 B．小前提与结论都是错误的

C．大、小前提正确，只有结论错误 D．大前提错误，结论错误

6.如果曲线
在点
处的切线方程为
,那么（ ）

A.
B.
C.
D.
在
处不存在

7.已知函数
的导函数
的图象如右图所示，

那么函数
的图象最有可能的是( )

8.由直线
，
，曲线
及
轴所围成的图形的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设，否定“自然数
中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( )

A. 自然数
都是奇数 C. 自然数
至少有两个偶数

B. 自然数
都是偶数 D. 自然数
至少有两个偶数或都是奇数

10. 若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有根，则实数m的取值范围是(　　)

A．[－2,2] B．[0,2] C．[－2,0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

11.若存在过点
的直线与曲线
和
都相切，则
等于（ ）

A．
或
B．
或
C．
或
D．
或

12. 以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为(　　)

A．76 B．78 C．81 D．84

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的横线上.

13.若复数
为纯虚数，则实数
____________.

14. 要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，

要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．

15.
的值为 ___ .

16.有13名医生,其中女医生6人
现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区,若医疗小组至少

有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N,则下列等式:

②
; ③
; ④
;

其中能成为N的算式是_________

三、解答题：本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知
求
的值（其中
为虚数单位）

18.（本小题满分12分）

已知二次函数
在
处取得极值，且在
点处的切线与

直线
平行．

（Ⅰ）求
的解析式； （Ⅱ）求函数
的单调递增区间．

19.（本小题满分12分）

从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：

（Ⅰ）能组成多少个没有重复数字的七位数？

　 （Ⅱ）在（Ⅰ）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？

　 (Ⅲ)在（Ⅰ）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？

　 (Ⅳ)在（Ⅰ）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？

（答题要求：先列式，后计算 , 结果用具体数字表示．）

20.（本小题满分12分）

已知:当
时，有
；

（Ⅰ）求

（Ⅱ）猜想
与
的大小关系，并用数学归纳法证明.

21.（本小题满分12分） 已知函数

（Ⅰ）求函数
的最大值；

（Ⅱ）对于任意
，且
，是否存在实数
使

得
恒为正数？若存在，

求
的取值范围，若不存在，说明理由.

22.（本小题满分12分）

设函数

（Ⅰ）当
时，
恒成立，求
的取值范围；

（Ⅱ）求证：当
时，
.

珠海市第二中学2015－2016学年度第二学期期中考试

高二年级数学数学试题（理科）参考答案和评分标准

说明：解答题仅给出一种解法过程，其他正确解法过程请参照给分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

D

B

D

B

A

C

D

A

C

A



二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．

13．
14．
15．
16．②③

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.解：
………………………………………3分

…………………………………5分

…………………………………………………7分

……………………………………………………10分

18.解：（Ⅰ）由
，可得
．

由题设有
即
解得
，
．

所以
．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

（Ⅱ）由题意得
，

所以
．令
，得
，
．









































所以函数
的单调递增区间为
，
.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

19. 解:（Ⅰ）
个．

　　 (Ⅱ)
个．

(Ⅲ)
个．

(Ⅳ)
个．

（每小题3分，结果正确即可，没有中间分）

20.解: （Ⅰ）

……………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可以猜想
,…………………………………………5分

下面用数学归纳法进行证明:

①
时, 由（Ⅰ）知等式显然成立；…………………………………………6分

②假设当
时等式成立,即
,…………………………………………7分

这就是说,当
时等式成立. …………………………………………11分

综合①②可知,猜想
成立. …………………………………………12分

21.解: （Ⅰ）由题设知：
，
………………2分

当
时
，当
时
；

∴
在
上为增函数，在
上为减函数；……………………4分

∴
……………………5分

（Ⅱ）由题设知：
恒成立，

即
恒成立，设
，

则有
恒成立，

即
在
为减函数；……………………7分

∴
在
恒成立，

∴
在
恒成立，……………………9分

设
，得

∴当
时
，当
时
；

∴
在
上为减函数，在
上为增函数；

得
……………………11分

∴
……………………12分

22. （Ⅰ）解:由题设知
在
上恒成立，设
…………2分

则当
时，
即
在
上为减函数

∴当
时，
，……………………4分

∴
……………………6分

（Ⅱ）证明：由题设知
，设

由（Ⅰ）知:当
时，
即
恒成立，

∴当x
(0，＋
)时，

即
在
上为增函数，此时有
，即

∴当x
(0，＋
)时，
……………………12分