成都龙泉高中高2015级高二（上）入学考试试题

数 学（文）

（满分150分，时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．

1.经过点
的直线
被圆
所截得的弦长为
，则直线

的方程为 （ ）

A.
或
B.
或

C.
或
D.
或

2．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，则cosC=（　　）

A．
B．
C．﹣
D．±

3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　）

A．35 B．﹣3 C．3 D．﹣0.5

4．对数型函数y=logax+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（　　）

A．（0，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，1）

5．设集合M={x|x2﹣5x﹣6＞0}，U=R，则?UM=（　　）

A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞） C．[﹣1，6] D．[﹣6，1]

6．已知向量
=（2，1），
=（﹣1，k），
⊥
，则实数k的值为（　　）

A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1

7．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间[2，3]上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（　　）

A．[2，2.5] B．[2.5，3] C．
D．以上都不对

8．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC=0，M是线段D1O上的动点，过点M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为（　　）

A．
B．
C．
D．1

9．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（　　）

A．AC⊥BD B．AC=BD

C．AC∥截面PQMN D．异面直线PM与BD所成的角为45°

10．已知函数f（x）=ln（cosx），则下列说法中，错误的是（　　）

①f（x）在定义域上存在最小值；②f（x）在定义域上存在最大值

③f（x）在定义域上为奇函数；④f（x）在定义域上为偶函数．

A．①③ B．②④ C．①② D．③④

11．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（　　）

A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B．横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D．纵坐标缩短到原来的
倍，横坐标不变

12．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，下列命题中正确的是（　　）

A．α∥β?l∥m B．α⊥β?l∥m C．l∥m?α⊥β D．l⊥m?α⊥β

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分

13．已知sinθ+cosθ=
，则sin2θ的值为　 　．

14．已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ　 　．

15．将一个总体分为A，B，C三个层次，已知A，B，C的个体数之比为5：3：2，若用分层抽样法抽取容量为150的样本，则B中抽取的个体数应该为　 　个．

16．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=1，在矩形ABCD内随机取一点M，则BM＜BC的概率为　 　．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知全集为实数集，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|3x﹣1＜x+5}．

（1）求集合B及?RA；

（2）若C={x|x≤a}，（?RA）∩C=C，求实数a的取值范围．

18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：

（1）顶点C的坐标；

（2）直线BC的方程．

19.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，B=
．

（1）若a=3，b=
，求c的值；

（2）若f（A）=sinA（
cosA﹣sinA），a=
，求f（A）的最大值及此时△ABC的外接圆半径．

20．（12分）如图所示，圆O的半径为R，A、B、C为圆O上不同的三点，圆心O在线段AC上．

（1）当AB=4，BC=3时，在圆O内任取一点P，求所取点P恰好位于△ABC内的概率；

（2）当R=1，B点为圆O上的动点时，此时在圆O内任取一点Q，求点Q位于△ABC内的概率的取值范围．

21．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足
=

+

．

（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（3分）

（Ⅱ）求
的值；（3分）

（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，
]，f（x）=
?
﹣（2m+
）|
|的最小值为﹣
，求实数m的值．（6分）

22.（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；

（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积V．

成都龙泉高中高2015级高二（上）入学考试试题

数 学（文）（解析版）

（满分120分，时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．

1.经过点
的直线
被圆
所截得的弦长为
，则直线

的方程为 （ D ）

A.
或
B.
或

C.
或
D.
或

2．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，则cosC=（　A　）

A．
B．
C．﹣
D．±

【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=30°，

∴由正弦定理可得：sinC=
=
=
，

又∵AB＜AC，C为锐角，

∴cosC=
=
．

故选：A．

3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　B　）

A．35 B．﹣3 C．3 D．﹣0.5

【解答】解：∵在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15

少输入90，

而
=3

∴平均数少3，

∴求出的平均数减去实际的平均数等于﹣3．

故选B．

4．对数型函数y=logax+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（　D　）

A．（0，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，1）

【解答】解：对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），

函数y=logax+1（a＞0，且a≠1）的图象由对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象向上平移一个单位得到，

故函数y=logax+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1， 1），

故选：D．

5．设集合M={x|x2﹣5x﹣6＞0}，U=R，则?UM=（　C　）

A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞） C．[﹣1，6] D．[﹣6，1]

【解答】解：x2﹣5x﹣6＞0即（x﹣6）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞6，

∴M=（﹣∞．﹣1）∪（6，+∞），

∴?UM=[﹣1，6]，

故选：C

6．已知向量
=（2，1），
=（﹣1，k），
⊥
，则实数k的值为（　A　）

A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1

【解答】解：∵
；

∴
；

∴k=2．

故选：A．

7．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间[2，3]上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（　A　）

A．[2，2.5] B．[2.5，3] C．
D．以上都不对

【解答】解：设f（x）=x3﹣2x﹣5，

f（2）=﹣1＜0，f（3）=16＞0，

f（2.5）=
﹣10=
＞0，

f（x）零点所在的区间为[2，2.5]，

方程x3﹣2x﹣5=0有根的区间是[2，2.5]，

故选A．

8．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC=0，M是线段D1O上的动点，过点M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为（　B　）

A．
B．
C．
D．1

【解答】解：∵平面ACD1⊥平面BDD1B1，又MN⊥平面ACD1，

∴MN?平面BDD1B1，∴N∈B1D1

过N作NG⊥A1B1，交A1B1于G，将平面A1B1C1D1展开，如图：

设NG=x，（0≤x≤1），

∴AN=
=
=
≥
，

当x=
时最小．

故选B．

9．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（　B　）

A．AC⊥BD B．AC=BD

C．AC∥截面PQMN D．异面直线PM与BD所成的角为45°

【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，

则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，

所以PQ∥AC，QM∥BD，

由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；

由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；

∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．

由BD∥PN，

∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；

由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．

∴
，
，

而AN≠DN，PN=MN，

∴BD≠AC．B错误．

故选：B．

10．已知函数f（x）=ln（cosx），则下列说法中，错误的是（　B　）

①f（x）在定义域上存在最小值；②f（x）在定义域上存在最大值

③f（x）在定义域上为奇函数；④f（x）在定义域上为偶函数．

A．①③ B．②④ C．①② D．③④

【解答】解：由cosx＞0得：x∈（﹣
+2kπ，
+2kπ），k∈Z，

此时f（x）=ln（cosx）≤ln1=0，

即f（x）在定义域上存在最大值，无最小值，

故①错误，②正确；

又由f（x）=ln[cos（﹣x）]=ln（cosx）=f（x），

故函数为偶函数，

故③错误，④正确，

故选：B

11．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（　B　）

A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B．横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D．纵坐标缩短到原来的
倍，横坐标不变

【解答】解：由于函数y=2cos2x=2?
=cos2x+1，

∴要得到得函数y=2cos2x的图象，

可以将函数y=1+cosx图象上所有的点横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，

故选：B．

12．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，下列命题中正确的是（　C　）

A．α∥β?l∥m B．α⊥β?l∥m C．l∥m?α⊥β D．l⊥m?α⊥β

【解答】解：直线l⊥平面α，直线m?平面β，

当α∥β有l⊥β，进而可得l⊥m，故A不正确

当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故B不正确

当l∥m有直线m⊥平面α，因为直线m?平面β，α⊥β，故C正确，

当l⊥m有α∥β或α∩β，故D不正确，

故选：C．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分

13．已知sinθ+cosθ=
，则sin2θ的值为　﹣
　．

【解答】解：将sinθ+cosθ=
左右两边平方得：

（sinθ+cosθ）2=
，

整理得：sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+sin2θ=
，

则sin2θ=
﹣1=﹣
．

故答案为：﹣

14．已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ　
　．

【解答】解：y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=
sin（πx+φ﹣α），其中sinα=
，cosα=
．

∵函数的图象关于直线x=1对称，

∴π+φ﹣α=
+kπ，

即φ=α﹣
+kπ，

则sin2φ=sin2（α﹣
+kπ）=sin（2α﹣π+2kπ）=sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα

=﹣2×
×
=
，

故答案为：

15．将一个总体分为A，B，C三个层次，已知A，B，C的个体数之比为5：3：2，若用分层抽样法抽取容量为150的样本，则B中抽取的个体数应该为　45　个．

【解答】解：根据分层抽样原理，抽取容量为150的样本，

在B中应抽取的个体数为：

150×
=45．

故答案为：45．

16．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=1，在矩形ABCD内随机取一点M，则BM＜BC的概率为　
　．

【解答】解：四边形ABCD的面积为2．

BM＜BC表示以B为圆心，1为半径的圆在矩形ABCD内部的部分，面积为
，

∴BM＜BC的概率为
=
．

故答案为：
．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知全集为实数集，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|3x﹣1＜x+5}．

（1）求集合B及?RA；

（2）若C={x|x≤a}，（?RA）∩C=C，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）∵B={x|3x﹣1＜x+5}，

∴B={x|x＜3}，

又∵A={x|1＜x＜4}，

∴?RA={x|x≤1或x≥4}；

（2）∵（?RA）∩C=C，

∴C??RA={x|x≤1或x≥4}，

又C={x|x≤a}，

∴a≤1．

18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：

（1）顶点C的坐标；

（2）直线BC的方程．

【解答】解：（1）设C（m，n），

∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．

∴
，解得
．

∴C（4，3）．

（2）设B（a，b），则
，解得
．

∴B（﹣1，﹣3）．

∴kBC=
=

∴直线BC的方程为y﹣3=
（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．

19.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，B=
．

（1）若a=3，b=
，求c的值；

（2）若f（A）=sinA（
cosA﹣sinA），a=
，求f（A）的最大值及此时△ABC的外接圆半径．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）∵b2=a2+c2﹣2accosB，a=3，b=
，
，

∴7=9+c2﹣2×
，整理可得：c2﹣3c+2=0，

解得：c=1或2…4分

（2）由二倍角公式得f（A）=
sin2A+
cos2A﹣
，

∴f（A）=sin（2A+
）﹣
，

∴当A=
时，f（A）最大值为
，

此时△ABC为直角三角形，

此时△ABC的外接圆半径：
…12分

20．（12分）如图所示，圆O的半径为R，A、B、C为圆O上不同的三点，圆心O在线段AC上．

（1）当AB=4，BC=3时，在圆O内任取一点P，求所取点P恰好位于△ABC内的概率；

（2）当R=1，B点为圆O上的动点时，此时在圆O内任取一点Q，求点Q位于△ABC内的概率的取值范围．

【解答】解：（1）记“所求点恰好位于△ABC内”为事件A，

∵AC为原O的直径，

∴2R=
=5，半径R=
，

∴圆O的面积为S圆O=π?
=
；

又∵△ABC的面积为S△ABC=
×3×4=6，

∴点P恰好位于△ABC内的概率为

P（A）=
=
=
；

（2）以O为原点，直线AC为x轴，以过O点并垂直于直线AC的直线为y轴建立直角坐标系，

则有A（﹣1，0），C（1，0），设B（x，y）；

记“所取点Q位于△ABC内”为事件B，

则由题设知﹣1＜x＜1，R2=x2+y2=1，

∵
=（x+1，y），
=（x﹣1，y），

∴|
|=
=
，

|
|=
=
，

∴△ABC的面积为

S△ABC=
|AB|?|
|=
×
?
=

；

又∵﹣1＜x＜1，∴0＜4﹣4x2＜4，

∴0＜S△ABC＜1；

又∵S圆O=π×12=π，

∴P（B）=
，

∴点Q位于△ABC内的概率取值范围为0＜P（B）＜
．

21．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足
=

+

．

（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（3分）

（Ⅱ）求
的值；（3分）

（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，
]，f（x）=
?
﹣（2m+
）|
|的最小值为﹣
，求实数m的值．（6分）

【解答】解：（Ⅰ）由已知
，即
，

∴
∥
．又∵
、
有公共点A，∴A，B，C三点共线．（3分）

（Ⅱ）∵
，∴

=

∴
，∴
．（3分）

（Ⅲ）∵C为
的定比分点，λ=2，∴
，

∴

∵
，∴cosx∈[0，1]

当m＜0时，当cosx=0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；

当0≤m≤1时，当cosx=m时，f（x）取最小值1﹣m2，得
（舍）

当m＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，得

综上所述，
为所求．（6分）

22.（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；

（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积V．

【解答】（Ⅰ）证明：∵M、N分别是棱PB、PC中点，

∴MN∥BC，

又 ABCD是正方形，∵AD∥BC，

∴MN∥AD．

∵MN?平面PAD，AD?平面PAD，

∴MN∥平面PAD．

（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，∴PA与平面ABCD所成的角为∠PAD，

∴∠PAD=45°．

∴PD=AD=2，

故四棱锥P﹣ABCD的体积V=
=
．

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