高二上学期开学摸底考数学试卷

选择题（每小题5分，共60分）

1、已知集合
，集合
，则
等于

A．
B．
C．
D．

2、如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是

A．

＜

B．ab＜b2 C．ac2＜bc2 D．a2＞ab＞b2

3、设x，y∈R，向量

=（x，1）

=（1，y），

=（2，﹣4）且

⊥

，

∥

，则x+y=

A．0 B．1 C．2 D．﹣2

4、在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为

A．

B．

C．

D．

5、已知偶函数
在
内单调递减，若
，
，
，则
、
、
之间的大小关系是

A．
B．
C．
D．

6、设
是方程
的两个根,则
的值为

A．
B．
C．1 D．3

7、从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为

，

，中位数分别为m甲， m乙，则

A．

，m甲＞m乙 B．

，m甲＜m乙

C．

，m甲＞m乙 D．

，m甲＜m乙

8、把函数y=sinx（x∈R）图象上所有点的横坐标缩短到原来的

倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动

个单位长度，得到的图象所表示的函数是

A．y=sin（2x﹣

）（x∈R） B．y=sin（

）（x∈R）

C．y=sin（2x+

）（x∈R） D．y=sin（2x+

）（x∈R）

9、若图1的框图所给的程序运行结果为
,那么判断框中应填入的关于
的条件是

A．
？ B．
？

C．
？ D．
？

10、在等差数列
中,
,
,则
的前
项和

A.
B.
C.
D.

11、已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足
|，则
的最小值是

A．﹣

B．﹣

C．﹣

D．﹣1

12、已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则
xi =

A．0 B．m C．2m D．4m

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、从某班
位老师中随机选两位老师值班,有女老师被选中的概率为
,则在这
位老师中,女老师有_______人.

14、已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域
上的一个动点，则
的取值范围是　　　　　　

15、若0＜α＜
，cos（
+α）=
，则cosα

16、若不等式组
的整数解只有
，则
的取值范围是

三、解答题（共70分）

17、（12分）正项数列
的前
项和为
，满足

（1）求
的通项公式

（2）设
，求数列
的前项和
。

18、（14分）已知向量
=（sinωx，cosωx），
=（cosωx，

cosωx）（ω＞0），函数f（x）=
的图象的一个对称中心与和它相邻的一条对称轴之间的距离为

．

（I）求函数f（x）的单调递增区间

（II） 在△ABC中，角A、B、C所的对边分别是a、b、c，若f（A）=

且a=1，b=

，求S△ABC．

19、（12分）在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：

x

9.5

13.5

17.5

21.5

25.5



y

6

4

2.8

2.4

2.2



画散点图，并根据散点图判断，
与
那一个适宜作为
关于
的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

根据（1）中判断结果及表中数据，求出
关于
的回归方程;

根据（2）中所求回归方程，估计
时的
值（精确到小数后1位）。

参考数据：①















17.5

0.06

3.5

-36.8

160

0.165

0.003



表中
，

②由最小二乘法，回归方程
中的

，

20、（16分）已知函数f（x）=

（1）当
=1，
=2时，求函数f（x）（x≠1）的值域，

（2）当
=0时，求f（x）＜1时，x的取值范围．

21、（16分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：

①f（x）在D内单调递增或单调递减；

②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则把y=f（x），x∈D叫闭函数．

（1）求闭函数y=x3符合条件②的区间[a，b]；

（2）判断函数f（x）=

x+

，（x＞0）是否为闭函数？并说明理由；

（3）已知定义在（1，m）的函数y= k﹣

是闭函数，求正整数m的最小值，及此时实数k的取值范围．

高二上学期开学摸底考数学试卷参考答案

一、选择题

CDACC ABCDD BB

二、填空题

13、2人 14、[0，2] 15、
16、

三、解答题

17、（1）由
------①

得
-------② ----------1分

②-①得

即
----------3分

又

是首项为4，公差为3的等差数列------------------5分

-----------------------6分

（2）

-----8分

两式相减得

-------------------9分

------------------------11分

----------------------12分

18、解：（I）f（x）=sinωx?cosωx+

cos2ωx﹣

=sin（2ωx+

）------------2分

∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0．

∴

=π∴ω=1，

∴f（x）=sin（2x+

）---------------------4分

由﹣

+2kπ≤2x+

≤

+2kπ，k∈Z

得f（x）的增区间为[﹣

π+kπ，
+kπ]，（k∈Z）；-----------------------6分

（II）∵若f（A）=

，∵0＜A＜π，

∴

＜2A+

＜

，∴A=

---------------------------8分

∵

=

，∴sinB=

，

∵B∈（0，π），∴B=

或

-----------------------10分

?当B=45°时，C=105°

∵sin105°=sin（60°+45°）=

，

∴S△ABC=

， ----------------------------------12分

?当B=135°，C=15°，sin15°=

，

∴S△ABC=

．------------------------------------14分

19、(1)散点图如右图----------2分

较为适宜。---------------4分

（2）设
，则
化为

由参考数据得

-----------8分

故
关于
的回归方程为
------------------10分

（3）将
代入
得
---------------12分

20、解：（1）∵当a=1，b=2时，f（x）=

=x﹣1+

+5，（x≠1）---2分

?当x＞1时，即x﹣1＞0．

∴f（x）=x﹣1+

+5≥2

+5=2+5=7

当且仅当x﹣1=

，即x=2时取等号 ----------------------------4分

?当x＜1．

f（x）=x﹣1+

+5=5﹣[﹣（x﹣1）﹣

]≤﹣2

+5=﹣2+5=3 4分

当且仅当﹣（x﹣1）=﹣

，即x=0时取等号-------------------------------6分

所以函数f（x）的值域（﹣∞，3]∪[7，+∞）--------------------------8分

（2）当a=0时，f（x）=

＜1，即

＜0 -------------------10分

等价于 （bx﹣2）（x﹣1）＜0 ---------------------11分

①当b=0时，解集为{x|x＞1}

②当b＜0时，解集为{x|x＞1或x＜

}

③当

=1，即b=2，解集为?

④当

＞1，即0＜b＜2时，解集为{x|1＜x＜

}

⑤当0＜

＜1，即b＞2时，解集为{x|

＜x＜1}

--------------------------16分

21、解：（1）由题意，y=x3在[a，b]上递增，在[a，b]上的值域为[a，b]--------1分

∴

，求得

----------------3分

所以，所求的区间[a，b]为[﹣1，1] ---------------------4分

（2）取 x1=1，x2=10，则f（x1）=

＜

=f（x2），即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．

取 x1=

，x2=

，则f（x1）=

+10＜

+100=f（x2），即f（x）不是（0，+∞）上的增函数 -------------------6分

所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．--------7分

（3）函数y=k﹣

是闭函数，则存在区间[a，b]，使函数f（x）的值域为[a，b]，

∵函数y=k﹣

在区间[a，b]上单调递增，即

-------------9分

∴a，b为方程

的两个实根，即方程

在（1，m）上有两个不等的实根 ------------------10分

由于
（当且仅当
时，取等号）

考察函数

-----------------------------12分

∵函数g（x）在（1，2）上递减，∴m＞2

∵g（x）在（2，m）递增，且函数y=g（x）与y=k的图象在（1，m）有两个交点，所以正整数m的最小值为3 ------------------------------14分

∵

，g（2）= 5，g（3）=

此时，k的范围是（5，

）-------------------------------16分

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