2013年嘉兴一中高三教学摸底测试

理科数学 试题卷

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写姓名、考号等指定内容;

2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．若复数
（
为虚数单位）是纯虚数，则实数
的值为

A．
B．
C．
D．

3．函数
是

A．最小正周期为
的奇函数 B． 最小正周期为
的奇函数

C．最小正周期为
的偶函数 D．最小正周期为
的偶函数

4．等差数列
中，已知
，
，使得
的最小正整数n为

A．7 B．8 C．9 D．10

5．
的内角
的对边分别为
,且
．

则

A．
B．
C．
D．

6．某三棱锥的三视图如所示，该三棱锥的体积为

A．20 B．

C．56 D．60

7．设
是空间两条直线，
,
是空间两个平面，则下列选项中不正确的是

A．当
时，“
”是“
”的必要不充分条件

B．当
时，“
”是“
”的充分不必要条件

C．当
时， “
”是“
∥
”成立的充要条件

D．当
时，“
”是“
”的充分不必要条件

8．下列命题中，真命题是

A．存在
使得
B．任意

C．若
，则
至少有一个大于1 D．

9．函数
的零点个数为

A．1 B．2

C．3 D．4

10．记实数
中的最大数为max{
} , 最小数为min{
}

则max{min{
}}=

A．
B．1 C．3 D．

第II卷（非选择题部分 共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．用0，1，2，3,4，5这六个数字，可以组成　▲　个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．

12．如图是一个算法流程图，则输出的
的值是 ▲ ．

13．已知
，
均为正数，
，且满足
，
，则
的值为　　▲　　．

14．已知函数
,点集
，
，则
所构成平面区域的面积为　　▲　　．

15．如图，
是双曲线
的左、右焦点，过
的直线与双曲线的左、右两支分别交于
两点．若
，则双曲线的离心率为　　▲　　．

16．在平面四边形
中，点
分别是边
的中点，且
，
，
．若
，则
的值为　　▲　　．

17．记定义在R上的函数
的导函数为
．如果存在
，使得
成立，则称
为函数
在区间
上的“中值点”．那么函数
在区间[－2，2]上“中值点”的为　▲　．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）已知数列
满足
，数列
满足
.

（Ⅰ）证明数列
是等差数列并求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
.

19．（本题满分14分）一个口袋中有红球3个，白球4个．

（Ⅰ）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个

球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中

奖的概率；

（Ⅱ）每次同时摸2个，并放回，摸到的2个球

中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X

的数学期望E(X)．

20．（本题满分15分）

正方形
与梯形
所在平面互相垂直，

，
，点
在线段
上且不与
重合。

（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；

（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为
时，求三棱锥
的体积.

21．（本题满分15分）

设点A（
，0），B（
，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为
.

（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若直线
过点F（1，0）且绕F旋转，
与圆
相交于P、Q两点，
与轨迹C相交于R、S两点，若|PQ|
求△
的面积的最大值和最小值（F′为轨迹C的左焦点）.

22．（本题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）若对任意
，使得
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）证明：对
，不等式
成立.

2013年嘉兴一中高三教学摸底测试

理科数学 参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1．C； 2．D； 3．C ； 4．B； 5．B；

6．B； 7．A； 8．D； 9．A； 10．D．

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）

11．216； 12．2400； 13．
； 14．
；

15．
； 16．
； 17．
．

三、解答题（本大题共5小题，第18、19、21题各14分，第20、22题各15分，共72分）

18．解（I）证明：由
，得
，

∴

所以数列
是等差数列，首项
，公差为

∴

（II）

----①

-------------------②

①-②得

19．解：（I）

（II）一次获奖的概率

20．（Ⅰ）以
分别为
轴建立空间直角坐标系

则

的一个法向量

，
。即

（Ⅱ）依题意设
，设面
的法向量

则
，

令
，则
，面
的法向量

，解得

为EC的中点，
，
到面
的距离

21．（Ⅰ）设
，则

化简
　　
轨迹
的方程为

（Ⅱ）设
，
的距离
，

，将
代入轨迹
方程并整理得：

设
，则
，

设
，则
上递增，

，

22．

（I）
化为

易知
，
，设

，设
，

，

，
上是增函数，

（Ⅱ）由（I）知：
恒成立，

令
，

取

相加得：