山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考文数试题

（满分150分，考试时间120分）

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1. 已知集合
，则

A.
B.

C.
D.

2. 已知是虚数单位，则满足
的复数为A.
B.
C.
D.

3. 袋中共有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，2

个白球和2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 A.
B.
C.
D.

4. 已知双曲线
的离心率
，则

它的渐近线方程为  A.
B.
C.
D.

5. 阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，若输入
1，

则输出的结果为 A. －1 B. 2 C.0 D. 无法判断

6. 已知一个几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为A.4 B.8 C.
D.

7. 命题 p:
，使得
，命题q:

.则下列命题中真命题为

A.
B.

C.
D.

8. 在下列区间中函数
的零点所在的区间为A.
B.
C.
D.

9. 设
是等差数列
的前项和，若
，则
＝

A.1 B.－1 C. 2 D.

10. 过抛物线
的焦点F作一直线l交抛物线于A、B两点，以AB为直径

的圆与该抛物线的准线l的位置关系为

A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定

11. 已知
中，角A、B、C的对边分别为、
、，已知
，

则cosC的最小值为

A.
B.
C.
D.

12. 已知函数
，若
，则实数的取值范围为

A.
B.
C.
D.

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

13．已知向量
、
满足
，
，
，向量
与
的夹角为 ( ．

14．设变量，满足
则变量
的最小值为　( ．

15．三棱锥
的侧棱
两两垂直且长度分别为2cm，2cm，1cm，则其

外接球的表面积是　 ( 　cm2．

16．下面有四个命题：

①函数
的最小正周期是；

②函数
的最大值是5；

③把函数
的图象向右平移
得
的图象；

④函数
在
上是减函数.

其中真命题的序号是 ( .

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题纸的相应位置上)



17．(本小题满分12分)

在等差数列{an}中，
为其前n项和
，且

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前项和
．

18．(本小题满分12分)

为了比较“传统式教学法”与我校所创立的“三步式教学法”的教学效果．共选100名学生随机分成两个班，每班50名学生，其中一班采取“传统式教学法”，二班实行“三步式教学法”

（Ⅰ）若全校共有学生2000名，其中男生1100名，现抽取100名学生对两种教学方式的受欢迎程度进行问卷调查，应抽取多少名女生？

（Ⅱ）下表1，2分别为实行“传统式教学”与“三步式教学”后的数学成绩：

表1

数学成绩

90分以下

90—120分

120—140分

140分以上



频 数

15

20

10

5



表2

数学成绩

90分以下

90—120分

120—140分

140分以上



频 数

5

40

3

2



完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为这两种教学法有差异.

班 次

120分以下(人数)

120分以上(人数)

合计(人数)



一班









二班









合计









参考公式:
,其中

参考数据:

P(K2≥k0)

0.40

0.25

0.10

0.05

0.010

0.005



k0

0.708

1.323

2.706

3.841

6.635

7.879



19. (本小题满分12分)

如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，
.

（Ⅰ）证明：
∥
；

（Ⅱ）若
求四棱锥
的体积.

20．(本小题满分12分)

设函数
(
R)，且该函数曲线
在
处的切线与轴平行.

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）证明：当
时，
.

21．(本小题满分12分)

设椭圆

的左焦点为，离心率
，过点且与轴垂直的直线被椭圆
截得的线段长为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程;

（Ⅱ）过点
的直线
与椭圆
交于不同的两个点
，当
面积最大时，求线段
的长度
．

选做题：请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题纸上将所选题号后的方框涂黑。

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D.

（Ⅰ）证明：PA=PD；

（Ⅱ）求证：PA·AC＝AD·OC．

23．(本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P((2，(4)的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（Ⅱ）若|PA|(|PB|=|AB|2，求a的值．

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋1|．

（Ⅰ）求使不等式f(x)< 6成立的x的范围；

（Ⅱ）x0(R，f(x0)< a，求实数a的取值范围．

2014届高三年级第一次四校联考数学试题（文）参考答案

选择题（每小题5分）

CBBCBA DBACCD

二．填空题（每小题5分）

13．60( 14．
15．9( 16．①②③

解答题

17．解: (Ⅰ)由已知条件得
………2分

解得
………4分

∴
. ………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
，

∴
………9分

∴

. ………12分

18．解：（Ⅰ） 设女生为x，则
， ………2分

解得
名，∴女生抽取
人． ………4分

（Ⅱ） 列联表如下：

班 次

120分以下(人数)

120分以上(人数)

合计(人数)



1班

35

15

50



2班

45

5

50



合计

80

20

100



 ………7分

K2=
………10分

由此可知，有99%的把握认为这两种教学法有差异． ………12分

19．解：（Ⅰ）设
，连接EF，

………2分

∵
∴
………3分

∵
平分
为
中点，为
中点，

∴
为
的中位线. ………4分

∵
∥

∴
∥
. ………6分

(Ⅱ)底面四边形
的面积记为
;

． ………9分

． ………12分

20.解：（Ⅰ）
，

由条件知，
故
则
………3分

于是
.

故当
时，
；当
时，
。

从而
在
上单调递减，在
上单调递增. ………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
在
上单调递增，

故
在
上的最大值为
最小值为
………10分

从而对任意
有
，

而当
时，
，从而

………12分

21．解：(Ⅰ)由题意得
，得
①．又
②， ………2分

解得①②
．

∴椭圆的方程为
． ………4分

(Ⅱ)根据题意可知，直线
的斜率存在，故设直线
的方程为
，设
，
由方程组
消去，得关于的方程

．

由
得

由根与系数的关系得
………6分

故
．

又因为原点
到直线
的距离
， ………8分

故
的面积

令
，则
，

所以
，当且仅当
时等号成立， ………11分

即
时，
． ………12分

22．证明：(1)∵直线PA为圆O的切线,切点为A

∴∠PAB=∠ACB…………………………………………2分

∵BC为圆O的直径，∴∠BAC=90°

∴∠ACB=90°-B

∵OB⊥OP,∴∠BDO=90°-B……………………………4分

又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90°-B

∴PA=PD…………………………………………………5分

(2)连接OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO

∵∠OAC=∠ACO，∴ΔPAD∽ΔOCA………………………………………8分

∴ = ，∴PA(AC=AD(OC………………………………………10分

23.解：(1) 由ρsin2θ=2acosθ(a>0)得ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0)

∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0)………………………2分

直线l的普通方程为y=x-2…………………………………4分

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2ax中，

得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2

则有t1+t2=2(4+a), t1t2=8(4+a)……………………………6分

∵|PA|(|PB|=|AB|2,∴t1t2=(t1-t2)2, 即(t1+t2)2=5t1t2……………8分

∴[2(4+a)]2=40(4+a)，即a2+3a-4=0

解之得：a=1或a=-4(舍去)，∴a的值为1…………………10分

24. 解：(1) 由绝对值的几何意义可知x的取值范围为（-2，4） ………5分

（Ⅱ）x0(R,f(x0)f(x)min ……………………………………7分

由绝对值的几何意义知：|x－3|＋|x＋1|可看成数轴上到3和-1对应点的距离和.

∴f(x)min=4，即∴a>4.…………………………………………………9分

所求a的取值范围为(4,+∞) ………………………………10分