高中数学教师综合能力测试题

一.解题（本题共6小题，其中第1、2小题各10分，其它4个小题每题15分，共80分）

1.某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令
表示走出迷宫所需的时间。

(1)求
的分布列； (2)求
的数学期望。

2已知等差数列
满足：
，
，
的前n项和为
．

（Ⅰ）求
及
；（Ⅱ）令bn=
(n
N*)，求数列
的前n项和
．

3（Ⅰ）证明两角和的余弦公式
；

由
推导两角和的正弦公式
.

（Ⅱ）已知△ABC的面积
，且
，求cosC.

4如图， 在矩形
中，点
分别

在线段
上，
.沿直线

将
翻折成
，使平面
.

（Ⅰ）求二面角
的余弦值；

（Ⅱ）点
分别在线段
上，若沿直线
将四

边形
向上翻折，使
与
重合，求线段
的长。

5已知函数
对任意的
，恒有


．

（Ⅰ）证明：当
时，
；

（Ⅱ）若对满足题设条件的任意
,不等式
恒成立，求
的最小值．

6已知m＞1，直线
，椭圆
，
分别为椭圆
的左、右焦点.

（Ⅰ）当直线
过右焦点
时，求直线
的方程；

（Ⅱ）设直线
与椭圆
交于
两点，
，
的重心分别为
.若原点
在以线段
为直径的圆内，求实数
的取值范围.

二.命题（10分）

平面图形折叠问题是近两年浙江省高考数学的热点问题，请你命制一道有关平面图形折叠问题的试题（解答题），给出解答及评分标准，（可参考浙江省09、10年的试题）

附1：（2009年高考浙江卷的第17题）如图，在长方形
中，
，
，
为
的中点，
为线段
（端点除外）上一动点．现将
沿
折起，使平面
平面
．在平面
内过点
作
，
为垂足．设
，则
的取值范围是

附2：（2010年高考浙江卷的第20题）见解题部分第4题。

三.教学案例读解（10分）

题目:经过长期观测知:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量
(千辆/小时)与汽车的平均速度
(千米/小时)之间的函数关系为
.问这段时间内,当汽车的平均速度
为多少时,车流量最大?当求最大的车流量(精确到
千米/小时)

某教师S对于这个问题的授课简录如下:

S:(直接给出下面的解法一)

由于
,所以有

,当且仅当
,即
时,等号成立,所以车流量的最大值为
(千辆/小时)

S:我们称此解法为解法之一,还有别的解法吗?(学生没有反应!)

S:怎么想不到用导数法哩!

(于是得到解法之二,S介绍用导数法解之)

S:还有别的解法吗?与二次函数有关的问题是否可以用判别式法解之?

于是得到解法之三:

将原式变形为
,

由于
是大于零的实数,
,所以
,解得
,故当
(千米/小时)时,
(千辆/小时).

对于教师S对这道题目的上述讲评,请你说一说他的讲授过程的不足之处,再提出改进意见.

不足之处:

(2)改进意见:

【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。

必须要走到1号门才能走出，
可能的取值为1，3，4，6

，

，
，

1

3

4

6















分布列为：

（2）
小时

解答: （Ⅰ）易知
,由题意可知
有
恒成立,

即
恒成立,所以
,即
,于是

且
,故
,所以

当
时，
成立,即
成立.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
,

(1)当
时,

令
则
,
的值域为
,

所以

(2)
时,由（Ⅰ）可知
,
时,
显然成立.

综上所述,
的最小值为
.

（Ⅰ）解：因为直线

经过
，所以
,得
，

又因为
，所以
，

故直线
的方程为
。

（Ⅱ）解：设
。

由
，消去
得

则由
，知
，

且有
。由于
，

故
为
的中点，由
，

可知

设
是
的中点，则
，由题意可知

即
即

而

所以
即
又因为
且
所以
。

所以
的取值范围是
。