山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理数试题

（满分150分，考试时间120分）

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1.已知全集
，集合

,则

A.
B.
C.
D.

2.复数
的虚部为

A. 2 B.
C. D.

3.若焦点在轴上的双曲线
的离心率为
，则该双曲线的渐近线方程为

A.
B.
C.
D.

4.按照如图的程序运行，已知输入x的值为2+log23，则输出y的值为

A.
B.
C.
D.

5.已知等比数列
的首项
公比
，则

A.50 B.35 C.55 D.46

6.已知
展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则
展开式中含
项的系数为

A. 71 B. 70 C.21 D. 49

7.如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是

A.9 B.10 C.12 D. 18

8.设
,当实数
满足不等式组
时，目标函数
的最大值等于2，则的值是

A. 2 B.3 C.
D.

9.已知函数
，若方程
有两个实数根，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10.已知三棱锥
的所有顶点都在球的球面上，
为球的直径，且
,

，
为等边三角形，三棱锥
的体积为
，则球的半径为

A . 3 B. 1 C. 2 D. 4

11.抛物线
的焦点为，点为抛物线上的动点，点
为其准线上的动点，当
为等边三角形时，则
的外接圆的方程为

A..
B.

C.
D.

12.已知函数
定义域为
，且函数
的图象关于直线
对称，当
时，
，（其中
是
的导函数），若
，则
的大小关系是

A.
B.
C.
D.

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

13.已知向量
，
满足
，
，
，则向量
与向量
的夹角为 ．

14.已知数列{
}满足
，则
的值为 ．

15.设
为第四象限角，
，则
．

16.已知数列{
}的前项和
满足
，
，则
的最小值为 ．

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17.(本小题满分12分)已知函数
.

(1)求
的单调递增区间；

(2)在
中，三内角
的对边分别为
，已知
,
,
.求的值.

18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，

，
，
，
，是
的中点．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的平面角的正弦值．

19.(本小题满分12分)在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为
，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响.

（1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率；

（2）设选做第23题的人数为
，求
的分布列及数学期望.

20.(本小题满分12分)设椭圆
的左焦点为，离心率为
，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.

(1) 求椭圆方程.

(2) 过点
的直线
与椭圆交于不同的两点
，当
面积最大时，求
.

21.(本小题满分12分)设函数

(1) 当
时，求
的单调区间；

(2) 若当
时，

恒成立，求的取值范围.

请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线
为圆的切线，切点为，直径
，连接
交
于点.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求证：
．

23．(本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为
,过点 ((2，(4)的直线的参数方程为
（为参数），直线与曲线相交于
两点．

（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（Ⅱ）若
，求的值．

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）求使不等式
成立的的取值范围；

（Ⅱ）
，
，求实数的取值范围．

2014届高三年级第一次四校联考数学试题答案（理）

1-12题答案：1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.B

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

13．
14．
15．
16．

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17.解析.解：(1)f(x)= sin(2x ( )+2cos2x-1=sin2x-cos2x+cos2x

=sin2x+cos2x= sin(2x + )………………………………………3分

由2kπ-≤2x+≤2kπ+,(k(Z)得kπ-≤x≤kπ+,(k(Z)…………5分

∴f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k(Z).………………………6分

(2) 由f(A)=, 得sin(2A + )=

∵<2A+<2π+ , ∴2A+=,∴A=……………………………8分

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc………………………10分

又2a=b+c,bc=18.

∴a2=18,

∴a=3………………………………………………………………12分

18.（1）证明：
底面
，

又
，
，故
面

面
，故
………………………………………… 4分

又
，是
的中点，故

从而
面
，故

易知
，

故
面
……………………………… 6分

（2）如图建立空间直角坐标系，设
，则
、
、
、
，
，从而
，
，…9分

设
为平面
的法向量，

则
可以取
……………………11分

又
为平面
的法向量，若二面角
的平面角为

则
……………………11分

因此
。……………………12分

19.解：(1)设事件
表示甲选22题，
表示甲选23题，
表示甲选24题，

表示乙选22题，
表示乙选23题，
表示乙选24题，

则甲、乙两人选做同一题事件为
，

且
相互独立，所以

…………………………………………………………4分

(2)设
可能取值为0,1,2,3,4,5.

，

分布列为

0

1

2

3

4

5




















………………………………………12分

20.解：(1)
…………（4分）

(2)根据题意可知，直线
的斜率存在，故设直线
的方程为
，设
，
由方程组
消去得关于的方程
（6分）由直线
与椭圆相交于
两点，则有
，

即
得

由根与系数的关系得

故
………………… (9分)

又因为原点
到直线
的距离
，故
的面积

令
则

所以
当且仅当
时等号成立，

即
时，
……………………………………(12分)

21、解：（1）当
时，

令
，得
或
；令
，得

的单调递增区间为

的单调递减区间为
………………………………………4分

（2）

令

当
时，
在
上为增函数.

而
从而当
时，
，即

恒成立.

若当
时，令
，得

当
时，
在
上是减函数，

而
从而当
时，
，即

综上可得的取值范围为
. …………………………………………………12分

22．证明：(1)∵直线PA为圆O的切线,切点为A

∴∠PAB=∠ACB…………………………………………2分

∵BC为圆O的直径，∴∠BAC=90°

∴∠ACB=90°-B

∵OB⊥OP,∴∠BDO=90°-B……………………………4分

又∠BD