中原名校联盟2013——2014学年高三上期第一次摸底考试

理科数学试题

（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．设A＝{1，4，2x}，若B＝{1，
}，若B
A，则x＝ （ ）

A．0 B．－2 C．0或－2 D．0或±2

2．已知m，n∈R，mi－1＝n＋i，则复数m＋ni在复平面内对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．若数列{
}通项为
＝an，则“数列{
}为递增数列”的一个充分不必要条件是（ ）

A．a≥0 B．a＞1 C． a＞0 D．a＜0

4．若直线y＝kx与圆
－4x＋3＝0的两个交点关于

直线x＋y＋b＝0对称，则 （ ）

A．k＝1，b＝－2

B．k＝1，b＝2

C．k＝－1，b＝2

D．k＝－1，b＝－2

5．执行右边的程序框图，若t∈[－1，2]，则s∈（ ）

A．（－1，2） B．[－1，2）

C．[－1，2] D．（－l，2]

6．正方形AP1P2P3的边长为4，点B，C分别是边P1P2，

P2P3的中点，沿AB，BC，CA折成一个三棱锥

P－ABC（使P1，P2，P3重合于P），则三棱锥P－ABC

的外接球表面积为 （ ）

A．24π B．12π C．8π D．4π

7．已知等比数列{
}中，各项都是正数，且a1,
a3，2a2成等差数列，则
＝（ ）

A．1－
B．1＋
C．2 D．
－1

8．如图所示，M，N是函数y＝2sin（wx＋
）（ω＞0）图像与x轴的交点，点P在M，N

之间的图像上运动，当△MPN面积最大时
·
＝0，则ω＝ （ ）

A．
B．

C．
D．8

9．已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大的面积是 （ ）

A．3 B．2

C．6 D．8

10．在圆
内任取一点，则

该点恰好在区域
内的概率

为 （ ）

A．
B．
C．
D．

11．等轴双曲线
（a＞0,b＞0）的右焦点为F（c，0），方程
的实根分别为
和
，则三边长分别为｜
｜，｜
｜，2的三角形中，长度为2的边的对角是 （ ）

A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定

12．已知函数f（x）（x∈R）满足
＞f（x），则 （ ）

A．f（2）＜
f（0） B．f（2）≤
f（0）

C．f（2）＝
f（0） D．f（2）＞
f（0）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为选考题，考生依据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知｜
｜＝1，｜
｜＝
，且
，
的夹角为
，则｜
－
｜的值为_________．

14．曲线
＝x与y＝
围成的图形的面积为______________．

15．已知（1＋x）＋
＋
＋…＋
＝
＋
＋
＋…＋
，且
＋
＋
＋…＋
＝126，则n的值为______________．

16．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b＝
,设f（x）＝（2x－1）﹡x，且关于x 的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根
，
，
，则
＋
＋
的取值范围是_________________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

设函数f（x）＝
－sin（2x－
）．

（1）求函数f（x）的最大值和最小值；

（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝3，f（
）＝
，若sinB＝2sinA，

求△ABC的面积．

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是
，

乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，

答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，得分最低为0分，至少得15分

才能入选．

（1）求乙得分的分布列和数学期望；

（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．

19．（本小题满分12分）

如右图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，

AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，

AE＝1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为
．

（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC;

（2）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆长轴的左右端点分别为A，B，短轴的上端点为M，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且
·
＝1，｜
｜＝1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使得点F恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝ln
－a
＋x（a＞0）．

（1）若
＝
，求f（x）图像在x＝1处的切线的方程；

（2）若f（x）的极大值和极小值分别为m，n，证明：m＋n＞3－2ln2．

【选考题】

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，

△ACD的外接圆交于BC于点E，AB＝2AC．

（1）求证：BE＝2AD；

（2）当AC＝1,EC＝2时，求AD的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为
（θ为参数），直线l

经过定点A（2，3），倾斜角为
．

（1）写出直线l的参数方程和圆的标准方程；

（2）设直线l与圆相交于A，B两点，求｜PA｜·｜PB｜的值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数f（x）＝｜2x＋1｜－｜x－2｜．

（1）求不等式f（x）≤2的解集；

（2）若{x｜f（x）≥
－t}∩{y｜0≤y≤1}≠
，求实数t的取值范围.

理科数学参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

CDBAD ABACC CD

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、 14、
15、6 16、

三、解答题

17、解：（I）
………………2分

∴当
时，函数取得最大值1；当
时，函数取得最小值0 ………4分

（Ⅱ）

又

……………………6分

……………………8分

……………………10分

……………………12分

18、解：（1）设乙得分为
，则
=

，

，

的分布列为

0

15

30













……………………4分

……………………6分

（2）设“甲入选”为事件A，“乙入选”为事件B

则
，
………………10分

所求概率
………………12分

19、（1）证明：取AB的中点O，连结OC,OD，则

即是
与平面
所成角，

……………………2分

取BD的中点为G，以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴建立如图空间直角坐标系，则
，

取BC的中点为M，则

，

所以
，所以
…………6分

（2）解：由上面知：
，

又

取平面DEC的一个法向量
…………8分

又
，

由此得平面BCE的一个法向量
…………10分

则
，所以二面角
的平面角的余弦值为
……12分

20、解：（1）设椭圆方程为
，

所以
，又因为
，

所以
，则椭圆方程为
………………4分

（2）假设存在直线符合题意。由题意可设直线方程为：
，代入
得：

…………………6分

设
，则

…………………8分

解得：
或
……………………10分

当
时，
三点共线，所以

所以

所以满足题意的直线存在，方程为：
……………………12分

21、解：（1）

，
，即
……………………2分

图像在
处的切线的方程为
，即
…4分

（2）设
为方程
的两个实数根，则

由题意得：
……………………6分

………………8分

…………10分

令
，则
，

时，

是减函数，

则

即
……………………12分

22、解：连接
因为
是圆的内接四边形，所以

，又
，

所以
，即有
，又
，

所以
，又
是
的平分线，

所以
，从而
。 …………5分

（2）由条件的
设
，

根据割线定理得

即
，

所以
即

解得
，或
（舍去），即
……………………10分

23、解：（1）
①，
② ………………5分

（2）把②代人①得，
③

设
是方程③的两个实根，则

所以
…………………10分

24、解：（1）

所求解集为