天津市六校2014届高三第一次联考数学试卷（文科）

一、选择题（每题5分，共8题）

1.已知复数
，那么
=( )

A．
B.
C.
D.

2. “
”是“
” 的

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. 充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

3.设变量x,y满足
,则
的最大值和最小值分别为( )

A． 1，
1 B. 2，
2 C. 1，
2 D.2，
1

4. 方程
的根所在区间为（ ）

A．
B.
C.
D.

5.已知定义在
上的函数
是偶函数，

对
时，
的值为（ ）

A．－2 B. 2 C.4 D.－4

6. 若直线
与圆
有公共点，则实数
取值范围是（ ）

A．
B.
C.
D.

7. 在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为(　　)．

A． B．2 C．3 D. 4

8．已知函数
，则使方程
有解的实数
的取值范围是（ ）

A．（1，2） B.
C.
D.

二、填空题（每小题5分，共6小题）

9．已知集合
，
，

则
=
。

10．已知
，则
与
夹角的正弦值为_____.

11．如图,
切圆
于点
,

交圆
于
、
两点，且与直径
交于点
，

，则
。

12．某四棱锥的三视图如图所示，

该四棱锥的表面积是 。

13.若执行如图2所示的框图，

输入
，x2 = 2, x3 = 4, x4 = 8,

则输出的数等于 。

14.已知双曲线
和

椭圆
有相同的焦点，且双曲线的离心

率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 。

三、解答题（共6道题，80分）

15. （13分）在
中，角
所对的边分别为
且满足

（I）求角
的大小；

（II）求
的最大值，并求
取得最大值时角
的大小．

16.（13分
）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5 杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公
司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．

（Ⅰ）求此人被评为优秀的概率；

（Ⅱ）求此人被评为良好及以上的概率；

17.（13分）在三棱拄
中，
侧面
，已知

AB=CC1=
2

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）试在棱
(不包含端点
上确定一点
的位置,使得
；

（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下,求AE和平面ABC所成角正弦值的大小.

[来源:Z#xx#k.Com]

18. （13分）在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,
)、(0,
)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A、B两点.

(Ⅰ)写出C的方程;

(Ⅱ)若
,求k的值;

19. （14分）已知正项数列
的前
项和为
，
是
与
的等比中

项.（Ⅰ）求证：数列
是等差数列；

（Ⅱ）若
，且
，求数列
的通项公式；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若
，求数列
的前
项和
.

20. （14分）已知函数

的定义域为
.

（I）求函数
在[m,m+1]（m>0）上
的最小值；

（Ⅱ）对
，不等式
恒成立，求
的取值范围.

2013年高三第一次六校联考数学试卷（文科答案）

一、选择题（每题5分，共8题）

1.D 2. A 3. B 4.C 5.A 6. C 7.D 8．B

二、填空题（每小题5分，共6小题）[来源:学科网]

9．已知集合
，
，

则
=
。

10．已知
，则
与
夹角的正弦值为__
___.

11．则
15 。

12．某四棱锥的三视图如图所示，

该四棱锥的表面积是
。

13.

输出的数等于
。

14.则双曲线的方程为
。

三、解答题（共6道题，80分）

15. （13分）

解：（I）由正弦定理得

因为
所以
------5分

（II）由（I）知
于是------6分

取最大值2．

综上所述，
的最大值为2，此时
------13分[来源:学,科,网]

16.（13分）

解：按文科的方式书写，分数自定

（Ⅰ）员工选择的所有种类为
，而3杯均选中共有
种，故概率为
.

（Ⅱ）员工选择的所有种类为
，良好以上有两种可能(：3杯均选中共有
种；

(：3杯选中2杯共有
种。故概率为
.

17.（13分）

解：（Ⅰ）∵
CC1=2 ∴BC1=

∴

∵
侧面

∴
且BC
AB=B

得证：
-----
-4分

（Ⅱ）连接BE 假设 E为C1C的中点

BC=CE=1
等边
中

同理：B1C1=C1E=1
∴

可得
可证

∵
侧面

∴
且EB
AB=B

得证：

得证
；------8分

（Ⅲ）
侧面

得

过E做BC1的垂线交BC1于F EF⊥平面ABC1

连接AF 则

∵BC⊥BC1 EF⊥BC1 ∴BC∥EF E为C1C的中点 得 F为C1B的中点

由（2）知
∴
------13分

18. （13分）解：(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,
),(0,
)为焦点, ------2分

长半轴为2的椭圆,它的短半轴
,------4分

故曲线C的方程为
.------6分

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足

消去y并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0, ------8分

故
.------10分

若
,即x1x2+y1y2=0.

而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,

于是
,化简,得-4k2+1=0,所以
.------13分

19. （14分）解：

（Ⅰ）
即
------1分

当
时，
，∴
------2分

当
时，

∴
------3分

即
------4分

∵
∴

∴数列
是等差数列------5分

（Ⅱ）由
得
------7分

∴数列
是以2为公比的等比数列

∴
------9分

∴
------10分

（Ⅲ）
------11分

∴
①

两边同
乘以
得
②[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]

①-②得

------14分

20. （14分）

解：
， --------------1分

令
得
；令
得

所以，函数
在（0，1）上是减函数；在
上是增函数----
-
----------3分

（I）当
时，函数
在[m,m+1]（m>0）上是增函数，

所以，
---------------------5分

当
时，函数
在[m,1]上是减函数；在[1,m+1] 上是增函数

所以，
。------------------------7分

（Ⅱ）由题意，对
，不等式
恒成立

即
恒成立---------------------9分

令
，则
------
--------------11分

由
------------------------------13分

所以，
。 所以，
.-----------------------14分