天津市2014届高三第一次六校联考数学试卷(理科)

一、选择题：（共40分，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．i为虚数单位，则
＝ (　　)．

A．－i B．－1 C．i
D．1

2. 设
为向量，则“
”是“
”的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.已设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为(
) A．11 B．10 C．9 D.

4. 如果执行图1的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）

A．
B.
C.
D.

5．某几何体的三视图如图2所示，则它的体积是( 　)．

A．8－ B．8－ C．8－2π D.

6.设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过A(a,0)，B(0，b)两点，若原点O到l的距离为c，则双曲线的离心率为(　　)

A.或2 B．2 C.或 D.

7．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为(　　)．

A．3 B．2 C．4 D.

8.已知函数y=f(x)是定义在数集R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，xf/(x)

A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b

二、填空题：（本大题共有6小题，每小题5分，共30分）

9. 某工厂生产A、B、C
三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2 :3 :5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有16件,那么此样本的容量
______.

10.若
的展开式中
的系数为7，则实数
_________.

11．若数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，则a2013＝________.

12.直线
（
）被曲线
所截的弦长为

13.如图，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE＝________.

14
.已知点(a，b)不在直线x＋y－2＝0的下方，则2a＋2b的最小值为________．

三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）

15.(13分)已知函数

(1)当
时，求函数
的最小值和最大值

(2)设△A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=
，
,若sinB=2sinA，求a,b的值.

16．（13分）一个袋中装有10个个大小相同的小球．其中白球5个、黑球4个、红球1个.

(1)从袋中任意摸出2个球，求至少得到1个白球的概率；

(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E(ξ)．

17．（13分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；

(3)求DB与平面DEF所成角的正弦值．

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

18.(13分) 在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,
)、(0,
)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A、B两点.

(1)写出C的方程;

(2)若点A在第一象限,证明当k
>0时,恒有
.

19.（14分）已知正项数列
的前
项和为
，
是
与
的等比中项.

（1）求证：数列
是等差数列；

（2）若
，且
，求数列
的通项公式；

（3）在（Ⅱ）的条件下，若
，求数列
的前
项和
.

20.（14分） 已知函数
，
，其中
．

(1)若
是函数
的极值点，求实数
的值；

(2)若对任意的
（
为自然对数的底数）都有
≥
成立，求实数
的取值范围．

2014届高三第一次六校联考数学试卷(理科)（答案）

一、选择题

1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.A

二、填空题：

9.80 10.
11.3 12.

14.4

三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）

15.（13分）

答案：（1）

最小值
-------6分

（2）
----------13分

16．（13分）
．

(1)解:记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，

则P(A)＝1－
＝．-----3分

(2)随机变量ξ的取值为0,1,2,3，------4分

由于P(ξ＝0)＝＝，-----6分 P(ξ＝1)＝＝，------8分

P(ξ＝2)＝＝，-------10分 P(ξ＝3)＝，------12分

ξ的分布列是

ξ

0

1

2

3



P[来源:Zxxk.Com]











ξ的数学期望E(ξ)
＝×0＋×1＋×2＋×3＝.---------13分

17．（13分）[解析]　以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设A
D＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，，0)、F(，，)、P(0,0，a)．

(1)·＝(－，0，)·(0，a,0
)＝0，∴EF⊥DC.-------4分

(2)设G(x,0，z)，则G∈平面PAD.

＝(x－，－，z－)，

·＝(x－，－，z－)·(a,0,0)＝a(x－)＝0，∴x＝；

·＝(x－，－，z－)·(0，－a，a)＝＋a(z－)＝0，∴z＝0.

∴G点坐标为(，0,0)，即G点为AD的中点．---------8分

(3)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)．

由得，即

取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)．

cos<，n>＝＝＝，

∴DB与平面DEF所成角的正弦值的大小为------13分

18.（13分）解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,
),(0,
)为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴
,------2分

故曲线C的方程为
.-----5分

(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足
消去y并整理,得(k2+4
)x2+2kx-3=0,-----
--7分

故
.-----------9分

=x12+y12-(x22+y22)

=(x12-x22)+4(1-x12-1+x22)

=-3(x1-x2)(x1+x2)
.---------11分

因为A在第一象限,故x1>0.

由
知x2<0,从而x1-x2>0.

又k>0,故
,

即在题设条件下,恒有
.--------13分

19.（14分）解：（Ⅰ）
即
------1分

当
时，
，∴
------2分

当
时，

∴
------3分

即
------4分

∵
∴

∴数列
是等差数列------5分

（Ⅱ）由
得
------7分

∴数列
是以2为公比的等比数列

∴

∴
------9分

（Ⅲ）
------10分

∴
①

两边同乘以
得
②

①-②得

---
---14分[来源:学科网ZXXK]

[来源:学科网ZXXK]

20.（14分）（1）解法1：∵
，其定义域为
，----1分

∴
．3分

∵
是函数
的极值点，∴
，即
． [来源:学。科。网Z。X。X。K]

∵
，∴
．

经检验当
时，
是函数
的极值点，∴
．　-----5分

解法2：∵
，其定义域为
，

∴
． 令
，即
，整理
，得
．

∵
，

∴
的两个实根
（舍去），
，

当
变化时，
，
的变化情况如下表：











—

0

＋







极小值





依题意，
，即
，∵
，∴
．

（2）解：对任意的
都有
≥
成立等价于对任意的
都有
≥
．------6分

当

［1，
］时，
．

∴函数
在
上是增函数．∴
． ----8分

∵

，且
，
．

①当
且

［1，
］时，
，

∴函数
在［1，
］上是增函数，

∴
.由
≥
，得
≥
，又
，

∴
不合题意．-------10分

②当1≤
≤
时，

若1≤
＜
，则
，若
＜
≤
，则
．

∴函数
在
上是减函数，在
上是增函数．

∴
.

由
≥
，得
≥
，又1≤
≤
，∴