遂川中学2014届高三年级第一学期第二次月考

理科数学试题

命题：罗书元； 审题：王世珠 2013-11-1

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1已知全集
集合
，则
为（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 已知定义在复数集C上的函数
，则
在复平面内对应的点位于（ ）

A.第一象限??????B.第二象限?????C.第三象限????D.第四象限

3.下列有关命题说法正确的是（ ）

A. 命题p：“
”，则(p是假命题

B．
的充分必要条件

C．命题
的否定是：“
”

D．命题“若tanα≠1，则α≠
” 的逆否命题是真命题

4.已知
的三边长成公差为
的等差数列，且最大角的正弦值为
，则这个三角形的周长是（ ）

A.
B.
C.
D.

5.已知在函数
（
）的图象上有一点
，该函数的图象与 x轴、直线x＝－1及 x＝t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（ ）

6. 已知函数
是R上的偶函数，且在区间
是单调递增的，若
则下列不等式中一定成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

7.函数
的部分图象如右图所示，设
是

图象的最高点，
是图象与
轴的交点，则

A.
B.
C.
D.

8.已知f(x)＝x3－3x＋m在区间[0,2]上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则实数m的取值范围是　( )　.

A. (6，＋∞)　 B. (5，＋∞)　 C.(4，＋∞)　 D. (3，＋∞)　

9.若
且
则
的可能取值是（ ）

A.
B
C.
D.

10. 已知函数
及其导数
，若存在
，使得
=
，则称
是
的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是（ ）

①
，②
，③
，④
，⑤

A.2 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分共25分，把正确答案填入答题卡上）

11.已知函数
且
是f(x)的导函数，若
,，则
= .

12.知函数
，则满足方程
的所有的
的值为 .

13.经过点
且与曲线
相切的直线
的方程是____________。

14.若函数
（
有两个零点，则
的取值范围是 .

15.已知函数f(x)=4
解集为空集，则满足条件的实数a的值为 .

三、解答题（本大题共6小题，共75分，请写出各题的解答过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）已知集合
,
,

（1）求
,
;（2）若
,求a的取值范围.

17.（本小题满分12分） 已知函数
。

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）在△ABC中，若A为锐角，且
=1，BC=2，B=
，求AC边的长。

18．（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量
（单位：千套）与销售价格
（单位：元/套）满足的关系式
，其中
，
为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求
的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格
的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数点）

19.定义在区间
上的函数
的图象关于直线
对称，当

时函数
图象如图所示.

（Ⅰ）求函数
在
的表达式；（Ⅱ）求方程
的解；

（Ⅲ）是否存在常数
的值，使得
在
上恒成立；若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分13分）已知函数
.

(Ⅰ)若函数
在
上是增函数，求正实数
的取值范围；

(Ⅱ)若
，
且
，设
,求函数
在
上的最大值和最小值.

21．（本小题满分14分）已知函数
，
为实数）有极值，且在
处的切线与直线
平行.

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数
的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设函数
试判断函数
在
上的符号，

并证明

。

期中考试数学(理)试卷答案2013．11

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题序

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

A

A

D

C

B

D

B

A

A

B



二、填空题（共5小题，每小题5分,共25分）

11．
； 12．0或3； 13．
或
； 14．
； 15．
．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，请写出各题的解答过程或演算步骤）

16解（1）
=
…………（1分 ）

…………（2分 ）

, …………（3分 ）

因为
,

所以
.…………（5分 ）

（2）由（1）知
,

①当
时,满足
,此时
,得
; …………（8分 ）

②当
时,要
,则
,解得
.…………（11分 ）

由①②得可知 a的取值范围：
.…………（12分 ）

17 解Ⅰ

……（2分）

…（3分）

令

可得函数
的单调增区间为：

………………………（5分）

同理可得函数
的单调减区间为

………………………（6分）

（Ⅱ）因为
=1，所以
所以

因为A为锐角，所以
………………（8分）

所以
，所以
………………（9分）

在△ABC中，由正弦定理得，
……（11分）

解得
………………（12分）

18（1）因为
时，
，

代入关系式
，得
，……………………2分

解得
. …………………4分

（2）由（1）可知，套题每日的销售量
， ……………………6分

所以每日销售套题所获得的利润

从而
. ……………………8分

令
，得
,且在
上,
，函数
单调递增；在
上，
，函数
单调递减， ……………………10分

所以
是函数
在
内的极大值点，也是最大值点，…………………11分

所以当
时，函数
取得最大值. ……………………12分

故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.

19（Ⅰ）
，

且
过
，

∵
∴
当
时
………………3分

而函数
的图象关于直线
对称，则

即
，

………………5分

（Ⅱ）当
时，

∴
即

当
时，
∴

∴方程
的解集是
………………8分

（Ⅲ）存在 假设存在,由条件得：
在
上恒成立

即
，由图象可得：
∴
………………12分

20(Ⅰ)解:由题设可得

因为函数
在
上是增函数，

所以,当
时，不等式
即
恒成立----2分

因为,当
时，
的最大值为
，则实数
的取值范围是
-----4分

(Ⅱ) 解:
，

所以,
…………6分

若
,则
，在
上, 恒有
，

所以
在
上单调递减

，
…………7分

(2)
时

（i）若
，在
上,恒有

所以
在
上单调递减

…………10分

ii)
时，因为
，所以

，所以

所以
在
上单调递减

…………12分

综上所述：当
时，
，
；当

且
时，
，
.…………13分

21．解：（Ⅰ）

由题意

① ………………………………………………………（1分）

②

由①、②可得，

故实数a的取值范围是
…………………………（3分 ） （Ⅱ）存在
………………………………………（5分）

由（1）可知
，

，且















+

0

－

0

+





单调增

极大值

单调减

极小值

单调增




，

.…………………………………………………（6分）

…………………………………（7分）

的极小值为1.………………………………（8分）

（Ⅲ）由

即

故，

则
在
上是增函数，故
，

所以，
在
上恒为正。.………………………………（10分）

（注：只判断符号，未说明理由的，酌情给分）

当
时，
，设
，则

即，
.………………………………（12分）

上式分别取
的值为1、2、3、……、
累加得：

，（
）

，（
）

，（
）

，（
）

即，
，（
），当
时也成立……………（14分）