济宁市育才中学2014－2015学年度高三第一学期期中考试

数学试卷（文科）2014.11

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题.每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的选项．）

1. 设集合M=
，则下列关系式正确的是（ ）

（A）0M （B）
M （C）
M （D）
M

2. 如果复数
的实部和虚部互为相反数，那么
等于（ ）

（A）
（B）
（C） （D）

3．已知
为实数，且
，则“
”是“
”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

4．函数=
的定义域为（ ）

（A）（
，
） （B）［1，

（C）（
，1
（D）（
，1）

5. 在正项等比数列
中，
，则
的值是 （ ）

（A）10000 （B）1000 （C） 100 （D）10

6．下列函数是偶函数，且在
上单调递增的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7. 已知
，则向量
与
的夹角为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8. 若
，且
，则
( )

（A）
（B）
（C）
（D）

9. 已知函数
的导函数图象如右图所示，若
为锐角三角形，则一定成立的是(　 　)

(A)
(B)

(C)
(D)

10. 对任意实数a，b定义运算“
”：
设
，若函数
恰有三个零点，则实数k的取值范围是(　　)

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分.不要求写出解题步骤，只要求将题目

的答案写在答题卷的相应位置上.)

11. 已知向量
，
, 若
//
, 则实数等于 ▲ .

12. 已知
为等差数列，若
，则前9项和
▲ .

13.
中,三边之比
，则最大角的余弦值等于 ▲ .

14. 若实数
满足
，则
的最小值是 ▲ .

15．给出下列四个命题：

①若
，且
则
；

②设
，命题“若
”的否命题是真命题；

③函数
的一条对称轴是直线
；

④若定义在上的函数
是奇函数，则对定义域内的任意必有
.

其中，所有正确命题的序号是 ▲ .

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．（本小题满分12分）

已知命题：不等式
对一切
恒成立；命题：函数
是增函数．若或为真，且为假，求实数的取值范围．

17.（本小题满分12分）

在
中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, 若向量
,
,

且
.

（I）求角A的大小；

（II）若
的面积
，求的值.

18．（本小题满分12分）

已知函数
．

（I）求
的最小正周期；

（II）若将
的图象向右平移个单位，得到函数
的图象，求函数
在区间[0，π]上的最大值和最小值．

19．（本小题满分12分）

如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间均设有1米宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值。

20. (本小题满分13分)

已知数列
，
满足条件：

，
．

(I)求证数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；

(Ⅱ)求数列
的前项和
，并求使得
对任意

都成立的正整数的最小值．

21．（本小题满分14分）

已知
,函数
.

(I) 当
时，求曲线
在点
处的切线的斜率；

(Ⅱ) 讨论
的单调性；

(Ⅲ) 是否存在实数，使得方程
有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

答案（文）

C D A B A D B A B D

11.
12.
13.
14.
15. ②④

16．（本小题满分12分）

解:为真：


, ……………………3分

为真：
……………………6分

因为或为真，且为假， p,q一真一假

当p真q假时，


……………………8分

当p假q真时，


……………………11分

的取值范围为
……………………12分

17.（本小题满分12分）

(Ⅰ)∵
，

∴
， ………………2分

即
，∴
， …………………………4分

∴
．

又
，∴
． …………………………6分

（Ⅱ）


，

∴
． …………………………8分

又由余弦定理得

， ………………10分

∴
，
． …………………………12分

18．（本小题满分12分）

解　（I）因为f(x)＝sin＋sin x

＝cos x＋sin x＝2

＝2sin，………………………4分

所以f(x)的最小正周期为2π. ………………………5分

（II）∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，

∴g(x)＝f＝2sin[＋]

＝2sin.………………………7分

∵x∈[0，π]，∴x＋∈，………………………8分

∴当x＋＝，即x＝时，sin＝1，g(x)取得最大值2. ………………………10分

当x＋＝，即x＝π时，sin＝－，g(x)取得最小值－1. ………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：设绿化区域小矩形平行于BC的一边长为x，另一边长为y,

则 3xy=200，所以
. …………………………3分

设矩形区域ABCD的面积为S，则

……………10分

当且仅当
即
时取等号.

所以，矩形区域ABCD的面积的最小值为288平方米. ………………………12分

20. (本小题满分13分)

解：（Ⅰ）∵

∴
，∵
，
…………2分

∴数列
是首项为2，公比为2的等比数列 ．

∴
∴
…………5分

（Ⅱ）∵
，…………7分

∴

． …………9分

∵
，又
，

∴
N*，即数列
是递增数列．　　　　　　　　　　

∴当
时，
取得最小值
． …………11分

要使得
对任意
N*都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需
，由此得
．∴正整数的最小值是5．　　　　　　　　　　　　　　　 …………13分

21．（本小题满分14分）

解:（1）当
时，

所以曲线y=
(x)在点
处的切线的斜率为0. …………………………3分

(2)
…………………………………………4分

当
上单调递减； ………………………6分

当
.

.

………………8分

（3）存在
，使得方程
有两个不等的实数根. ………………9分

理由如下：

由（1）可知当
上单调递减，方程
不可能有两个不等的实数根； ………………………11分

由（2）得，
使得方程
有两个不等的实数根，等价于函数
的极小值
，即
，解得

所以的取值范围是
………………………………14分