2014—2015学年度第一学期高三期末考研考试

数学试题（文科）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、若复数
，则
（ ）

A．
B．
C．1 D．2

2、已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3、已知函数
的最小正周期为
，则
（ ）

A．1 B．
C．-1 D．

4、在区间
内随机取出一个实数
，则
的概率为（ ）

A．0.5 B．0.3

C．0.2 D．0.1

5、运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）

A．2014

B．2013

C．1008

D．1007

6、已知实数
满足约束条件
，则
的最大值是（ ）

A．2 B．0

C．-10 D．-1 5

7、如图
为互相垂直的两个单位向量，则
（ ）

A．20 B．

C．
D．

8、湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下

一个半径为
，深
的空穴，则取出该球前，球面上

的点到冰面的最大距离为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知等比数列
中，若
成等差数列，则公比
（ ）

A．1 B．1或2 C．2或-1 D．-1

10、已知函数
，则它们的图象可能是（ ）

11、已知函数
，且
，若函数
在区间
上的最大值为2，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

12、在
中，内角
所对的边分别为
，且
边上的高为
，则
取得最大值时，内角
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.

13、若
时，
，则
的取值范围是

14、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的

表面积为

15、已知圆
与直线

相切，则

16、设互不相等的平面向量组
，满足：①
；

②
，若
，则
的取值集合为

三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

在
中，内角
所对的边分别为
，且
。

（1）求
；

（2）若
，求
的周长的最大值。

18、（本小题满分12分）

已知等差数列
的前
项和为
，
为等比数列，且
，
。

（1）求数列
，
的通项公式；

19、（本小题满分12分）

为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），其测量数据的茎叶图如下：

规定:当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品。

（1）试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；

（2）现从乙厂抽出的非优等品中随机抽取两件，求至少抽到一件该元素含量为10毫克或13毫克的产品的概率。

20、（本小题满分12分）

在棱锥
中，
平面
平面
，
是
的中点，
.

（1）求证：
；

（2）求三棱锥
的高。

21、（本小题满分13分）

已知函数
，其中
。

（1）讨论函数
的单调性；

（2）若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围。

21、（本小题满分13分）

已知：过抛物线
的焦点
的直线交抛物线于
两个不同的点，过
分别作抛物线的切线，且二者相交于点

（1）求证：
；

（2）求
的面积的最小值。

2015年保定市高三调研考试文科答案

一.选择题：CBADD BCBCB AD

二.填空题：13
; 14.
. 15. 3. 16.

17、解：（1） 因为
…………2分

………………………………………………………4分

（2）由（1）知，

由
,得
，……………7分

所以

所以
，

所以
周长的最大值为21……………………………………10分

18．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由题意可得：
………………3分

解得q=2或q=
(舍)，d=2．

∴ 数列{an}的通项公式是an=2n+1，
……………………6分

数列{bn}的通项公式是
．
……………………7分

（2）Tn=

∴2Tn=
……………………9分

∴-Tn=

∴Tn=
，
…………………………………………12分

19解：（1）甲厂平均值为
…2分

乙厂平均值为
…………4分

所以甲厂平均值大于乙厂平均值………………………………5分

（2）记含量为10和13毫克的两件为
，其他非优质品分别为
则“从六件非优质品中随机抽取两件”，基本事件有：

共15个.………………………………8分

“至少抽到一件含量为10毫克或13毫克的产品”所组成的基本事件有：
共9个，………10分

故所求概率
……………………………12分

20. (1)证明：∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AF，

又∵AB=AC ，F是BC的中点，所以AF⊥BC，

∴AF⊥平面BCD

所以AF⊥FE…………………………………………………2分

在△DEF中，

所以DF⊥EF，……………………5分

∴EF⊥平面AFD，故FE⊥AD………………………………………6分

(2) 解：由（1）知DF⊥EF，所以S△DEF=
DF×EF=
……7分

（或：又DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，所以DC∥EB

因为S△DEF=S梯形BCDE-S△DCF- S△BEF=
……7分）

在△DEF中，

所以，由余弦定理得
……9分

所以S△DEA=

设三棱锥F—ADE的高h，则
S△DEF×AF=

所以h=1，即三棱锥F—ADE的高为1……………………12分

21.解：（1）定义域为
，……………………2分

①当
时，
，

在定义域
上单调递增；……………………4分

②当
时，当
时，
，
单调递增；

当
时，
，
单调递减。

函数
的单调递增区间：
，单调递减区间：
………………7分

（2）
对任意
恒成立

令

，所以
………………10分

在
上单调递增，在
上单调递减

，

……………………12分

22. （1）证明：设LAB：
,代入
得

……………………2分

所以
……………………………………………6分

②若k=0，显然
…………………………………7分

（或

…………………………7分）

（2）解由（1）知，点C到AB的距离
…………………8分

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