徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试

数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，

1．己知集合
，则
中元素的个数为_______．

2．设复数z满足
（i是虚数单位），则z的虚部为_______．

3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，

则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．

4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为_______．

5．如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为_____．

6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ______.

7. 已知
是定义在R上的奇函数，当
时，
，

则
的值为_____.

8. 在等差数列
中，已知
，则
的值为______.

9. 若实数
满足
，则
的最小值为_____.

10. 已知椭圆
，点
依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线
与直线
的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______.

11．将函数
的图象分别向左、向右各平移
个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则
的最小值为______．

12．己知a，b为正数，且直线
与直线
互相平行，则2a+3b的最小值为________.

13．已知函数
，则不等式
的解集为______.

14．在△ABC中，己知
，点D满足
，且
，则BC的长为_______ ．

二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

己知向量
，
．

(1)若
，求
的值：

(2)若
，且
，求
的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥P- ABC中，已知平面PBC
平面ABC．

(1)若AB
BC，CD
PB，求证：CP
PA：

(2)若过点A作直线
上平面ABC，求证：
//平面PBC．

17.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中，己知点
，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC=BD.

（1）若AC=4，求直线CD的方程;

（2）证明：
OCD的外接圈恒过定点(异于原点O).

18.(本小题满分16分)

如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位:km)，△BEF的面积为S(单位:
).

(I)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域;

(2)是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3
?并说明理由.

19.(本小题满分16分)

在数列
中，已知
，
为常数.

(1)证明:
成等差数列;

(2)设
，求数列 的前n项和
；

（3）当
时，数列
中是否存在三项
成等比数列，且
也成等比数列?若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

20.(本小题满分16分)

己知函数

(1)若
，求函数
的单调递减区间;

(2)若关于x的不等式
恒成立，求整数 a的最小值:

(3)若
，正实数
满足
，证明:

附加题部分

21.【选做题】本题包括A, B, C, D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)

如图，

是△ABC的外接圆，AB = AC，延长BC到点D，使得CD = AC，连结AD交

于点E.求证:BE平分
ABC.

B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)

已知
，矩阵
所对应的变换
将直线
变换为自身，求a,b的值。

C.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)

己知直线
的参数方程为
（t为参数）,圆C的参数方程为
.(a>0.
为参数)，点P是圆C上的任意一点，若点P到直线
的距离的最大值为
，求a的值。

D.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)

若
，且
，求
的最小值.

【必做题】第22题、第23题.每题10分.共计20分.请在答题卡指定区毕内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.(本小题满分10分)

某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等.

(1)求某同学至少选修1门自然科学课程的概率;

(2)已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是
，自然科学课程的概率都是
，且各门课程通过与否相互独立.用
表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量
的概率分布列和数学期望。

23.(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物
的准线方程为
过点M(0,-2)作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O).直线
过点M与抛物线交于两点B,C，与直线OA交于点N.

(1)求抛物线的方程;

(2)试问:
的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。

参考答案与评分标准

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

1．6； 2．
； 3．
； 4．
； 5．7； 6．
； 7．
；

8．22； 9．18； 10．
； 　11．2； 12．25 ； 13．
； 14．3．

二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(1)因为
，所以
， …………………………………………………………2分

所以
，即
． …………………4分

因为
，所以
． …………………………………………6分

(2)由
∥
，得
， ………………………………………………8分

即
，即
，

整理得，
……………………………………………………11分

又
，所以
，

所以
，即
． …………………………………………………14分

16．（1）因为平面
⊥平面
，平面

平面

，
平面
，

⊥
，所以
⊥平面
． …………………………………………………2分

因为
平面
，所以
⊥
. ………………………………………………4分

又因为
⊥
，且
，
平面
,

所以
⊥平面
，…………………………………………………………………6分

又因为
平面
，所以
⊥
．……………………………………………7分

（2）在平面
内过点
作
⊥
，垂足为
．…………………………………8分

因为平面
⊥平面
，又平面
∩平面
＝BC，

平面
，所以
⊥平面
．…………………………………………10分

又
⊥平面
，所以
//
．……………………………………………………12分

又
平面
，
平面
，
//平面
．…………14分

17．(1) 因为
，所以
，…………………………………1分

又因为
，所以
，所以
，…………………………………3分

由
，得
，…………………………………………………………… 4分

所以直线
的斜率
， ………………………………………………5分

所以直线
的方程为
，即
．…………………………6分

（2)设
，则
．…………………………………………7分

则
，

因为
，所以
，

所以
点的坐标为
………………………………………………………8分

又设
的外接圆的方程为
，

则有
……………………………………………10分

解之得
,
,

所以
的外接圆的方程为
，…………12分

整理得
，

令
，所以
（舍）或

所以△
的外接圆恒过定点为
．…………………………………………14分

18．(1)如图，以
为坐标原点
，
所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则
点坐标为
．……………………………………………………………………………1分

设边缘线
所在抛物线的方程为
，

把
代入，得
，解得
，

所以抛物线的方程为
．…………………………………………………………3分

因为
，……………………………………………………………………………4分

所以过
的切线
方程为
．………………………………………5分

令
，得
；令
，得
，…………………………………7分

所以
，…………………………………………………………8分

所以
，定义域为
．………………………………………9分

(2)
，……………………………………………12分

由
，得
，

所以
在
上是增函数，在
上是减函数，……14分

所以
在
上有最大值