沭阳银河学校2015届高三1月月考

数 学 试 题

试卷说明：本场考试时间120分钟，总分160分．

一、填空题：（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）

1.已知集合
，集合
，则
= ▲ ．

2.已知复数
（
为虚数单位），则
的值为 ▲ ．

3.从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和

为5的概率是 ▲ ．

4.阅读下面的流程图，若输入
，
，则输出的结果是 ▲ ．

5.在
中，
，
，
，则
= ▲ ．

6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为 ▲ ．

7.在等比数列
中，
，
，则
▲ ．

8.函数
（
，则“
”是“函数
为奇函数”的 ▲ 条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填写）

9.已知


的最小值为
则
的值为 ▲ ．

10．在
中，
，
，
，设点
，满足

.若
，则
的值是 ▲ ．

11.设
，直线
圆
.若圆
既与线段
又与直线
有公共点，则实数
的取值范围是 ▲ ．

12．若
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则函数
的所有零点之和为 ▲ ．

13.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点
在
轴上且

焦距为
，
为左右顶点，左准线
与
轴的交点为
，

，若点
在直线
上运动，且离心率
，

则
的最大值为 ▲ ．

14.若函数
存在与直线
平行的切线，则实数
的取值范围

是 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15. （本小题14分）

已知
菱形
所在平面，点
、
分别为线段
、
的中点．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
∥平面
．

16. （本小题14分）

已知
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，
，向量
，
，且
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）当
取得最大值时，求
和
．

17. （本小题14分）

如图①，一条宽为1km的两平行河岸有三个工厂
、
、
，工厂
与
、
的直线距离都是2km，
与河岸垂直，
为垂足．现要在河岸
上修建一个供电站，并计划铺设地下电缆和水下电缆，从供电站向三个工厂供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别为2万元/km、4万元/km．

（Ⅰ）已知工厂
与
之间原来铺设有旧电缆（原线路不变），经改造后仍可使用，旧电缆的改造费用是0.5万元/km．现决定将供电站建在点
处，并通过改造旧电缆修建供电线路，试求该方案总施工费用的最小值；

（Ⅱ）如图②，已知供电站建在河岸
的点
处，且决定铺设电缆的线路为
、
、
，若
，试用
表示出总施工费用
（万元）的解析式,并求总施工费用
的最小值．

18. （本小题16分）

若椭圆
的方程为
，
、
是它的左、右焦点，椭圆
过点
，且离心率为
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左右顶点为
、
，直线
的方程为
，

是椭圆上任一点，直线
、
分别交直线
于
、
两点，求
的值；

（Ⅲ）过点
任意作直线
（与
轴不垂直）与椭圆
交于

、
两点，与
轴交于
点
，
．

证明：
为定值．

19. （本小题16分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）当
时，求曲线
在原点处的切线方程；

（Ⅱ）求
的单调区间；

（Ⅲ）若
在
上存在最大值和最小值，求
的取值范围．

20. （本小题16分）

已知无穷数列
的各项均为正整数，
为数列
的前
项和．

（Ⅰ）若数列
是等差数列，且对任意正整数
都有
成立，求数列
的通项公式；

（Ⅱ）对任意正整数
，从集合
中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与
一起恰好是1至
全体正整数组成的集合．

（ⅰ）求
的值；（ⅱ）求数列
的通项公式．

一、填空题(14×5＝70分)

1、{ 0 }

2、



3、

4、2



5、7

6、



7、

8、充要



9、4

10、



11、

12、



13、

14、





解答题（共90分）

15、（14分）（1）
平面
，
平面
，

，又
是菱形，
， 又
平面
，
，
平面
，又
平面
，

．

（2）取线段
的中点
，连结
，

则
∥
，且
，又
∥
，且
，

∥
，
，
四边形
是平行四边形，

∥
，

又
平面
，
平面
，

∥平面
．

16、（14分）

(1)由

又
则

(2)

又
则
时
最大

由正弦定理
得

所以
，

17、（14分）

（1）（1）过
作
于
，地下电缆的最短线路为

该方案总费用为
（万元）

（2）
，
，

则

设
则

由
得

列表

,?则

此时

因此施工总费用的最小值为
万元，其中

18、（16分）

（1）

（2）设
，则
，

=

（3）设
，
,

由
得

所以

代入椭圆方程得

①

同理由
得
②

由①-②得

19、（16分）

（1）

（2）

①
时
在
上单调递减，在
上单调递增

②
时
的单调递增区间

单调递减区间

③
时
的单调递增区间

单调递减区间

（3）①由（2）
时不符合题意

②
时
在
上递减，在
上递增，则当

当
时，

,
故

则
解得

③
时
在
上递增，在
上递减

则
且
时

则
解得

综上
或

20、（16分）

（1）设无穷等差数列
的公差为
，则

所以

又

则
=

所以
则
或

（2）（i）记
，显然

对于
，

有

故
，所以

（ii）由题意可知，集合
按上述规则，共产生
个正整数．而集合
按上述规则产生的
个正整数中，除
这
个正整数外，还有

，共
个数．

所以，

又
，

所以

当
时，
而
也满足

所以，数列
的通项公式是

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