南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1．设集合
，集合
，若
，则
▲ .

答案：1

2．若复数
（其中
为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数
▲ .

答案：－1

3．在一次射箭比赛中，某运动员
次射箭的环数依次是
，则该组数据的方差是 ▲ .

答案：

4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为
，甲、乙下和棋的概率为
，则乙获胜的概率为 ▲ .

答案：

解读：为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。

5．若双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，则
▲ .

答案：

6．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ .

答案：42

解读：此题的答案容易错为22。

7．若变量
满足
，则
的最大值为 ▲ .

答案：8

8．若一个圆锥的底面半径为
，侧面积是底面积的
倍，则该圆锥的体积为 ▲ .

答案：

9．若函数
图象的两条相邻的对称轴之间的距离为
，且该函数图象关于点
成中心对称，
，则
▲ .

答案：

10．若实数
满足
，且
，则
的最小值为 ▲ .

答案：4

11．设向量
，
，则“
”是“
”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .

答案：必要不充分

12．在平面直角坐标系
中，设直线
与圆
交于
两点，
为坐标原点，若圆上一点
满足
，则
▲ .

答案：

13．已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，函数
. 如果对于
，
，使得
，则实数
的取值范围是 ▲ .

答案：

14．已知数列
满足
，
，
，若数列
单调递减，数列
单调递增，则数列
的通项公式为
▲ .

答案：
（ 说明：本答案也可以写成
）

二、解答题：

15．在平面直角坐标系
中，设锐角
的始边与
轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点
，将射线
绕坐标原点
按逆时针方向旋转
后与单位圆交于点
. 记
.

（1）求函数
的值域；

（2）设
的角
所对的边分别为
，

若
，且
，
，求
.

解：（1）由题意，得
， ………4分

所以
， ………………6分

因为
，所以
，故
. ………………8分

（2）因为
，又
，所以
， ………………10分

在
中，由余弦定理得
，即
，

解得
. ………………14分

（说明：第（2）小题用正弦定理处理的，类似给分）

16．(本小题满分14分)

如图，在正方体
中，
分别为
的中点.

（1）求证：
平面
；

（2）求证：平面
平面
.

证明（1）：连接
，设
，连接
， ………2分

因为O，F分别是
与
的中点，所以
，且
，

又E为AB中点，所以
，且
，

从而
，即四边形OEBF是平行四边形，

所以
， ……………6分

又
面
，
面
，

所以
面
. ……………8分

（2）因为
面
，
面
，

所以
， ………… 10分

又
，且
面
，
，

所以
面
，…………12分

而
，所以
面
，又
面
，

所以面
面
. ………14分

17．在平面直角坐标系
中，椭圆
的右

准线方程为
，右顶点为
，上顶点为
，右焦点为
，斜率为

的直线
经过点
，且点
到直线
的距离为
.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）将直线
绕点
旋转，它与椭圆
相交于另一点
，当

三点共线时，试确定直线
的斜率.

解：（1）由题意知，直线
的方程为
，即
， ……………2分

右焦点
到直线
的距离为
，
， ……………4分

又椭圆
的右准线为
，即
，所以
，将此代入上式解得
，
，

椭圆
的方程为
； ……………6分

（2）由（1）知
，
，
直线
的方程为
， ……………8分

联立方程组
，解得
或
（舍），即
， …………12分

直线
的斜率
. ……………14分

其他方法：

方法二: 由（1）知
，
，
直线
的方程为
，由题
，显然直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，联立方程组
，解得
，代入椭圆解得：
或
，又由题意知，
得
或
，所以
.

方法三：由题
，显然直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，联立方程组
，得
，
，

所以
,
，当
三点共线时有，
，

即
，解得
或
，又由题意知，
得
或
，所以
.

18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线
是以点
为圆心的圆的一部分，其中
（
，单位：米）；曲线
是抛物线
的一部分；
，且
恰好等于圆
的半径. 假定拟建体育馆的高
米.

（1）若要求
米，

米，求
与
的值；

（2）若要求体育馆侧面的最大宽度
不超过
米，求
的取值范围；

（3）若
，求
的最大值.

（参考公式：若
，则
）

解：（1）因为
，解得
. …………… 2分

此时圆
，令
，得
，

所以
，将点
代入
中，

解得
. ………… 4分

（2）因为圆
的半径为
，所以
，在
中令
，得
，

则由题意知
对
恒成立， ………… 8分

所以
恒成立，而当
，即
时，
取最小值10，

故
，解得
. ………… 10分

（3）当
时，
，又圆
的方程为
，令
，得
，所以
，

从而
， ………… 12分

又因为
，令
，得
， ………… 14分

当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，从而当
时，
取最大值为25
.

答：当
米时，
的最大值为25