惠州市2015届高三第三次调研考试

数 学 试 题（理科） 2015.1

本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．若集合
，
，则
( )．

A.
B.
C.
D.

2．下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递减的函数为( )．

A.
B.
C.
D.

3．“
”是“
”成立的( )条件．

A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要

4．设双曲线
的虚轴长为2，焦距为
，则此双曲线的离心率为( )．

A.
B.
C.
D.

5．空间中，对于平面
和共面的两直线
、
，下列命题中为真命题的是( )．

A.若
，
，则
B.若
，
，则

C.若
、
与
所成的角相等，则
D.若
，
，则

6．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为( )．

A.840 B.720 C.600 D.30

7．数列
，满足对任意的
，均有
为定值．若

，则数列
的前100项的和
( )．

A.132 B.299 C.68 D.99

8．在平面直角坐标系中，定义两点
与
之间的“直角距离”为
．给出下列命题：

(1)若
，

，则
的最大值为
；

(2)若
是圆
上的任意两点，则
的最大值为
；

(3)若
，点
为直线
上的动点，则
的最小值为
．

其中为真命题的是( )．

A. (1) (2) (3) B. (2) C. (3) D. (2) (3)

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

高一

高二

高三



女生









男生









9．某校有
名学生，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是
．现用分层抽样的方法在全校抽取
名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．

10．已知
，
，
，若
，则实数
______．

11．已知复数
(
)，若
，则实数
的值为__________．

12．已知
，使不等式
恒成立，则实数
的取值范围是__________．

13．
是平面内不共线的三点，点
在该平面内且有
，现将一粒黄豆随机撒在△
内，则这粒黄豆落在△
内的概率为__________．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线
的参数方程为
（
为参数），圆
的参数方程为
（
为参数）．若直线
与圆
有公共点，则实数
的取值范围是__________．

15．（几何证明选讲选做题）如图1，点
都在圆
上，过点
的切线交
的延长线于点
，若
，
，
，则线段
的长为__________．

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）

16．（本小题满分12分）

已知函数
，
（其中
），其部分图像如图2所示．

（1）求函数
的解析式；

（2）已知横坐标分别为
、
、
的三点
都在函数
的图像上，求
的值．

17．（本小题满分12分）

惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．

（1）设第一次训练时取到的新球个数为
，求
的分布列和数学期望；

（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到
个新球的概率．

参考公式：互斥事件加法公式：
（事件
与事件
互斥）．

独立事件乘法公式：
（事件
与事件
相互独立）．

条件概率公式：
．

18．（本小题满分14分）

三棱柱
的直观图及三视图（正视图和俯视图是正方形，侧视图是等腰直角三角形）如图所示，
为
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求二面角
的正切值．

19．(本小题满分14分)

已知数列
的前
项和
，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
，是否存在

，使得
、
、
成等比数列．

若存在，求出所有符合条件的
值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

已知抛物线

的焦点
以及椭圆

的上、下焦点及左、右顶点均在圆
上．

（1）求抛物线
和椭圆
的标准方程；

（2）过点
的直线交抛物线
于
两不同点，交
轴于点
，

已知
，
，求
的值；

（3）直线
交椭圆
于
两不同点，
在
轴的射影分别为
，
，若点
满足
，

证明：点
在椭圆
上．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，过点
作曲线
的两条切线
，
，切点分别为
，
．

（1）当
时，求函数
的单调递增区间；

（2）设
，求函数
的表达式；

（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数
，在区间
内，总存在
个数
使得不等式
成立，

求
的最大值．

惠州市2015届高三第三次调研考试

数 学 (理科）参考答案与评分标准

一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

B

A

D

B

B

D



1．【解析】由
得
，
；由
得
，

。
。故选A.

2．【解析】首先
是偶函数，且在
上单减，而

，

故
满足条件。故选C.

3．【解析】由不等式的性质知，当
时，
成立；

反之，例如取
，显然
，而
不成立。故选B.

4．【解析】由已知知
，所以
，所以
。选A.

5．【解析】当
，
时，必有
或
与
异面直线，

而
与
是共面的两条直线，所以
。故选D.

6．【解析】分两类。第一类：甲、乙两人中恰有一人参加，方法种数为
种，第二类：甲、乙两人同时参加，方法种数为
种，根据分类计数原理，满足条件的方法种数为480+240=720种。故选B.

7．【解析】对任意的
，均有
为定值，

，故
，

是以3为周期的数列，故
，
，
，

。选B.

8．【解析】对于（1），
，

的最大值为
，故（1）不正确。

对于（2），要使
最大，必有
两点是圆上关于原点对称的两点，可设

，则
。故（2）正确；

对于（3），设
，则
，去掉绝对值后可知当
时，
取得最小值
。故（3）正确。故选D.

二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

9．30 10．8 11．
12．
13．
14.
15．

9．【解析】由条件有
，
，

而抽样比例为
，故高二抽取的学生人数为
人。

10．【解析】
，

。

11．【解析】
，
。

12．【解析】易知
的最小值为4，
，

故实数
的取值范围是
。

13．【解析】解析：由

,

得
，设
到
距离
，如图，

则
，

，

所以
，所以所求概率为
.

14．【解析】因为直线
的普通方程为
，圆C的普通方程为
，故圆C的圆心到直线
的距离
，解得
。

15．【解析】由切割线定理知
，又易知
∽
，故
，

故
。

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）

16.（本小题满分12分）

解：（1）由图可知，
， ……………………………………………1分

最小正周期

所以
…………………………………3分

又
，且

所以
，
…………………5分

所以
． ……………………6分

(2) 解法一: 因为

，

所以
， ………………………………8分

，

从而
， ……………………………10分

由
，得
. ………12分

解法二: 因为

，

所以
， ………………………………8分

,
,

,

则
. ……………10分

由
，得
. ……12分

17.（本小题满分12分）

解：（1）
的所有可能取值为0，1，2． ……………………1分

设“第一次训练时取到
个新球（即
）”为事件
（
0，1，2）．