班级 姓名 准考证号

忻州市第一中学2015届高三1月月考

数学（理）试题

命题人： 张艳春 康德胜

注意事项:

1．答题前，考生务必用0.5mm黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。

2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟。

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合
,
,则

A．
B．
C．
D．

2.若
是纯虚数，则
的值为

A．
B．
C.
D.
或

3. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A.
B.
C.
D.

4. 已知双曲线的方程为
，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
（其中c为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

5.某学校推荐甲、乙、丙、丁4名同学参加A、B、C三所大学的自主招生考试。每名同学只推荐一所大学，每所大学至少推荐一名.则不推荐甲同学到A大学的推荐方案有

A.24种 B.48种 C.54种 D.60种

6.一个算法的程序框图如右，则其输出结果是

A.0 B.

C.
D.

7.设变量
满足约束条件：
,则目标函数
取值范围是

A．
B．
C．
D．

8. 设
为
的外心，且
，则
的内角
=

A.

B.
C.
D.

9.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝

A． B．2 C． D．1

10.已知
则
的值

A．随着k的增大而减小

B．有时随着k的增大而增大,有时随着k的增大而减小

C．随着k的增大而增大

D．是一个与k无关的常数

11.在平面直角坐标
系中，
分别是
轴和
轴上的动点，若以
为直径的圆
与直线
相切，则圆
面积的最小值为

A.
B.
C.
D.

12．定义在R上的奇函数
，当
≥0时，
则关于
的函数
（0＜
＜1）的所有零点之和为

A．1-
B．
C．
D．

二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上)

13．若等比数列{
}的首项为
，且
，则公比等于 ▲ .

14．设
，则
的值是 ▲ .

15．在△ABC中，A满足条件sinA＋cosA＝1，AB＝2cm，BC＝2cm，则A＝ ▲ ，△ABC的面积等于 ▲ cm2.

16.对于定义在
上的函数
，若存在距离为
的两条直线
和
，使得对任意
都有
恒成立，则称函数
有一个宽度为
的通道.给出下列函数：

①
；②
；③
；④

其中在区间
上通道宽度可以为1的函数有 ▲ . (写出所有正确的序号)

三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上)

17. (本小题满分12分)

已知等差数列
的公差为2，前
项和为
，且
成等比
数列.（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
，求数列
的前
项和
.

18. (本小题满分12分)

甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，各局比赛结果相互独立.

（Ⅰ）求甲
在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（Ⅱ）记
为比赛决出胜负时的总局数，求
的分布列和均值（数学期望）.

19. (本小题满分12分)

如图，在三棱柱
中，
是边长为
的正方形．平面
平面
，
，
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

20. (本小题满分12分）

给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
的“准圆”. 若椭圆
的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率和其“准圆”方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线
，使得
与椭圆C都只有一个公共点，当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线
的方程.

21. (本小题满分12分)

已知函数

(Ⅰ)若
时，函数
在其定义域上是增函数，求b的取值范围；

(Ⅱ)在（Ⅰ）的结论下，设函数
的最小值.

请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22. （本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，

∠ABC的
角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.

（Ⅰ）证明：DB=DC；

（Ⅱ）设
圆的半径为1，BC=
，延长CE交AB于点F，

求△BCF外接圆的半径.

23. （本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴.已知直线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）求
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
与曲线
交于
两点，求弦长
.

学校 姓名 准考证号

张艳春 康德胜

一．选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
,
,则
( C )

A．
B．
C．
D．

2.若
是纯虚数，则
的值为( C )

A．
B．
C.
D.
或

3. 某几何体的三视图如图所示，
则它的体积是（ A ）

A.
B.
C.
D.

4.已知双曲线的方程为
，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
（其中c为双曲线的半
焦距长），则该双曲线的离心率为（ B ）

A.
B.
C.
D.

5.某学校推荐甲、乙、丙、丁4名同学参加A、B、C三所大学的自主招生考试。每名同学只推荐一所大学，每所大学至少推荐一名.则不推荐甲同学到A大学的推荐方案有( A )

A.24种 B.48种 C.54种 D.60种

6. 一个算法的程序框图如右，则其输出结果是（ D ）

A.0 B.

C.
D.

7. 设变量
满足约束条件：
,则目标函数
取值范围是( D )

A．
B．

C．
D．

8. 设
为
的外心，且
，则
的内角
=（ B ）

A.
B.

C.
D.

9. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(　C　)

A． B．2 C． D．1

9.【命题意图】考查抛物线定义，标准方程，焦点坐标，准线方程，向量坐标运算；

【解析】由y2＝4x知F(1，0)，准线L:x=-1,设P(－1，t)，Q(x0，y0)，则＝(－2，t)，＝(x0－1，y0)，由＝4，得－2＝4(x0－1)，解得x0＝，根据抛物线定义得|QF|＝x0＋1＝.选C

【讲评价值】利用抛物线定义解题可以减少运算量，是解析几何中抛物线上的点

基本方法；加强向量坐标运算作为知识的交汇点考查是今年来考查的方向；

【同类变式】已知抛物线关于
轴对称，它的顶点在坐标原点
，并且经过点
,若点
到该抛物线焦点的距离为
，则
( B )

A.
B.
C.


D.

10. 已知
则
的值（　C　）

A．随着k的增大而减小

B．有时随着k的增大而增大,有时随着k的增大而减小

C．随着k的增大而增大

D．是一个与k无关的常数

【命题意图】本题考查同角关系，两角差的正弦、二倍角正弦、余弦公式、特殊角三角函数值，化归与转化思想的应用。

【解析】由k=
=2sin((cos(,

0<(<
,sin(-cos(=-
=-

=-
随着k的增大而增大

【讲评价值】①切化弦，大角化小角，提取公因式，平方是三角函数式化简的基本方法；②同角关系，两角差的正弦、二倍角正弦、余弦公式、特殊角三角函数值是必须熟练掌握的知识；③化归与转化的思想方法是高考考查的重要思想方法。

11.在平面直角坐标
系中，
分别是
轴和
轴上的动点，若以
为直径的圆
与直线
相切，则圆
面积的最小值为（ A ）

A.
B.
C.
D.

【命题意图】考查直径上的圆周角是直角，圆心到切线的距离等于半径，抛物线定义的应用，圆面积最小的面积求法

【解析】设直线

因为
所以圆心
的轨迹为以
为焦点，
为准线的抛物线，圆
半径最小值为
圆
面积的最小值为
故选A.

【同类变式】设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)

A．y2＝4x或y2＝8x　　　　　B．y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x

【答案】C

12．定义在R上的奇函数
，当
≥0时，
则关于
的函数
（0＜
＜1）的所有零点之和为（ A ）

A．1-
B．
C．
D．

【命题意图】考查函数性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、图像、分段函数，绝对值函数零点求法

【解析】x
(-1,0]时，-x
[0,1),f(x)=-f(-x)=-
,由
，F(x)=0,f(x)=a,-
=a,

,x=1-