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数学（文）试题

2015-1-7

本试卷共4页，分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共50分）

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若（1+i）z=﹣2i，则复数z=

（A）i （B）-i （C）-1-i （D）-1+i

2．全集U=R，集合
，则[UA=

（A）
（B）
（C）
（D）

3．已知
则
等于

（A）7 （B）
（C）
（D）

4．如果等差数列
中，
，那么
等于

（A）21 （B）30 （C）35 （D）40

5．要得到函数
的图象，只要将函数
的图象

（A）向左平移2个单位 （B）向右平移2个单位

（C）向左平移
个单位 （D）向右平移
个单位

6．“
”是“直线
与直线
垂直”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

7．设m，n是两条不同直线，
是两个不同的平面，下列命题正确的是

（A）
且
则
（B）
且
，则

（C）
则
（D）
则

8．函数
在
上的图象是

9．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是

（A）
（B）
（C）
（D）

10．已知函数
，若
，则函数
的零点个数是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知向量
，则向量
的夹角为 。

12．已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于 。

13．已知
满足
，则
的最大值为 。

14．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为

15．若函数
满足
，对定义域内的任意x,

恒成立，则称
为m函数，现给出下列函数：

①
； ②
； ③
； ④

其中为
函数的序号是 。（把你认为所有正确的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

设命题p：函数
的定义域为R；

命题q：
对一切的实数
恒成立，如果命题“p且q”为假命题，

求实数a的取值范围.

17.（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为
。

（I）求函数
的对称轴方程；

（II）若
，求
的值。

18.（本小题满分12分）

设数列
为等差数列，且
；数列
的前n项和为
，且
。

（I）求数列
，
的通项公式；

（II）若
，
为数列
的前n项和，求
。

19.（本小题满分12分）

如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，DA
面ABEF，且DA=1，AB//EF，
，P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点。

（I）求证：PQ//平面BCE； （II）求证：AM
平面ADF；

20.（本小题满分13分）

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以
天计），第
天
的旅游人数
(万人)近似地满足
，而人均消费
(元)近似地满足
.

(1)求该城市的旅游日收益
（万元）与时间

的函数关系式；

(2)求该城市旅游日收益的最小值.

21.（本小题满分14分）

函数
。

（I）若函数
在
处取得极值，求
的值；

（II）若函数
的图象在直线
图象的下方，求
的取值范围；

（III）求证：
。

2015年1月高三数学（文科）模拟试题参考答案

3【答案】B.因为
所以
，即
.所以
，

4【答案】C.在等差数列中，由
得
。所以
.

5【答案】D.因为
，所以只需将函数
的图象向右平移
个单位，即可得到
的图象，选D.

6【答案】A

7【答案】B. A中直线
也有可能异面，所以不正确。B正确。C中
不一定垂直，错误。D当
相交时，结论成立，当
不相交时，结论错误。所以选B.

8【答案】A.函数
为偶函数，所以图象关于
对称，所以排除D.当
时，
，排除B.当
时，
，排除C,选A.

9【答案】D.该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为CC1=4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为
,所以球的半径为
,，所以球的表面积是
，选D.

10【答案】D.由
，得
。若
，则
，所以
或
，解得
或
。若
，则
，所以
或
，解得
或
成立，所以函数
的零点个数是4个，选D.

11【答案】
.因为
，所以
，所以
，所以
。

12【答案】16.设另两边为
，则由余弦定理可知
，即
，又
，所以
，当且仅当
时取等号，所以最大值为16。

13【答案】2.设
，则
。作出可行域如图作直线
，平移直线
，由图象可知当直线
经过点D时，直线
的截距最下，此时
最大，把
代入直线
得
，所以
的最大值为2.

14【答案】
.

15【答案】②③. ①若
，则由
得
，即
，所以
，显然不恒成立。②若
，由
得由
恒成立，所以②为
函数。③若
，由
得
，当
时，有
，
，此时成立，所以③为
函数。④若
，由
得由
，即
，即
，要使
恒成立，则有
，即
。但此时
，所以不存在
，所以④不是
函数。所以为
函数的序号为②③。

16.解：p：
…………………………………………………………………4分

q：
……………………………………………………8分

∵“p且q”为假命题 ∴p,q至少有一假

（1）若p真q假，则
且
（2）若p假q真，则
且

（3）若p假q假，则
且
∴
………………………………12分

20. 解：（1）
……………………4分

……………………………6分

（2）当
，
（当且仅当
时取最小值）…………9分

当
，因为
递减，

所以
时，
有最小值
，………12分

所以
时，
的最小值为441万元. …………………13分