滕州市第一中学2015届高三1月期末通练

数学（理）试卷

一.选择题（每题5分，共10题）

1.设
是两个非空集合，定义运算
，已知
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知是
实数，若复数
是纯虚数，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3.在
中，角
所对的边为
.若
，则
A.
B.
C.
D.
（ ）

4.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙。在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（ ）

A.3个 B.4个 C.99个 D.100个

5. 小赵和小王约定在早上7:00至7:30之间到某公交站搭乘公交车去上学.已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7:10,7:20,7:30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

6.若函数
的图象上的任意一点
满足条件
，则称函数
具有性质
，那么下列函数值具有性质
的是 （ ）

A.
B.
C.
D.

7. 已知下列命题：

①设m为直线，
为平面，且m
，则“m//
”是“
”的充要条件；

②
的展开式中含x3的项的系数为60；

③设随机变量
～N(0，1)，若P(
≥2)=p，则P(-2<
<0)=
；

④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，则m的取值范围是(
，2)；

⑤已知奇函数
满足
，且0

其中所有真命题的序号是 （ ）

A.③④ B.③ C.④⑤ D.②④

8.在边长为1的正方形
中，
为
的中点，点
在线段
上运动，则
的取值范围是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A.
B.
C.
D.

9.已知抛物线
的焦点为
是抛物线上横坐标不相等的两点，若
的垂直平分线与
轴的交点是
，则
的最大值为 （ ）

A.2 B.4 C.10 D.6

10.函数
在区间
上零点的个数为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A.3 　　 B.4 　　　 C.5 　　　 D.6

二．填空题

11. 某程序的框图如上右图所示，执行该程序，

若输入的
为l6，则输出的
的值为 .

12.某校开设9门课程供学生选修，其中
3门课由于

上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，

则不同选修方案共有 种.

13.已知圆
和两点
，

若点
在圆
上且
，则满足条件的
点有 个.

14.在
中，
为
上一点，且
，
为
上一点，且
，则
取最小值时，向量

的模为 .

15.已知函数
的图象与直线
的交点为
，函数
的图象与直线
的交点为
，
恰好是点
到函数
图象上任意一点的线段长的最小值，则实数
的值是 .

三．解答题

16.（12分）已知

（1）求函数
的最小正周期和函数在
上的单调减区间；

（2）若
中，
，求角
.

17.（12分）

如图，在四棱锥
中，
,四边形
是菱形，
,且
交于点
，
是
上任意一点.

(1)求证：
；

（2）已知二面角
的余弦值为
，若
为
的中点，

求
与平面
所成角的正弦值.

18.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得
分）。设每次击鼓出现音乐的概率为
，且各次击鼓出现音乐相互独立。

（1）设每盘游戏获得的分数为
，求
的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

19.（12分）已知点


在函数
的图象上.

(1)若数列
是等差数列，求证：数列
是等比数列；

(2)若数列
的前
项和
，过点
的直线与两坐标轴所围图形的面积为
，求最小的实数
，使得对任意的

，
恒成立.

20.（13分）设函数
.

(1)求
的单调区间；

(2)若存在区间
，使
在
上的值域是
，求
得取值范围.

21.（14分）已知椭圆
的右焦点为
，且点
在椭圆
上.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）已知动直线
过点
，且与椭圆
交于
两点.试问
轴上是否存在定点
，使得
恒成立？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.

17解：（1）因为
平面
，所以
，因为四边形
为菱形，所以
又
因为
５分

（2）连接
在
中，
所以
分别以
所在直线为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，设
则
，
，由（1）知，平面
的一个法向量为
得
，令
，得
……８分

因为二面角
的余弦值为
，所以
，

解得
或
（舍去），所以
…………１０分

设
与平面
所成的角为
.因为
，
，所以
所以
与平面
所成角的正弦值为
.１２分

18. 解：（1）
可能取值有
，10，20，100
，
，
，

……………４分

故分布列为



10

20

100



P











（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是
则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是
……９分

（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为
的数学期望是
分这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．……１２分

19.解：(1)设数列
的公比为
，则
对
恒成立，依题意的
，则
，所以
是非零常数，从而数列
是等比数列.４分

（2）当时
，
，当
时，
，
也满足此式，

所以数列
的通项公式是
.…………６分

由
可得，
.所以
.

从而过着两点的直线方程是
，可得此直线与坐标轴的交点
.因此
，…………１０分

由于
，所以数列
单调递减，即数列的
最大项为
，要使任意的
，
恒成立，只需
.所以实数
的最小值为
.……………………１２分

20解：（1）由题意得，函数
的定义域是
,
,令
则
,当
即
时，函数
单调递减;当
即
时,函数
单调递增，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，则
的最小值为
，所以
，即
的单调递增区间是
.…………６分

（2）由（1）得
在区间
上单调递增，又
在