班级 姓名 准考证号

忻州市第一中学2015届高三1月月考

数学（文）试题

命题人： 康德胜 张艳春

注意事项:

1．答题前，考生务必用0.5mm黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上；2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效；3．满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设全集
＜
，集合
，则
等于

A.
B.
C.
D.

2．
为虚数单位，复数
在复平面内对应的点到原点的距离为

A．
B.
C. 1 D.

3．阅读程序框图，若输入
，则输出
分别是

A．
B．

C．
D．

4．已知向量
，
，则
与
夹角的余弦值为

A.
B.
C.
D.

5．下列说法正确的是

A．要得到函数
的图象，只要将
的图象向左平移
单位

B．“
”是“函数
在区间
上为增函数”的必要不充分条件

C．若定义在
上的函数满足
，则
是周期函数

D．命题“
”是真命题

6．现有四个函数：①
；②
；③
；④
的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是

A．①④③② B．①④②③　 C．④①②③　 D．③④②①

7．若
，则
的值使得过
可以做两条直线与圆
相

切的概率等于

A．
B．
C．
D．

8. 已知数列
中满足
，
，则
的最小值为

A. 7 B.
C.9 D.

9．某三棱锥的三视图如图，则该几何体的表面积是

A．
B．

C．
D．

10.
存在与直线
平行的切线，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

11．以双曲线－＝1(a>0，b>0)中心O(坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线,垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．2

12．定义在R上的奇函数
，当
≥0时，
则关于
的函数
（0＜
＜1）的所有零点之和为

A．1-
B．
C．
D．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的应位置上)

13．抛物线
的准线方程是
，则实数
的值为 ▲ .

14．若
，
，则
= ▲ .

15．已知三棱柱
的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上,

,
，则球的体积为 ▲ .

16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为n2＋n．记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数　N(n,3)＝n2＋n，

正方形数 N(n,4)＝n2，

五边形数 N(n,5)＝n2－n，

六边形数 N(n,6)＝2n2－n，

……

可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(20,24)＝ ▲ .

三、解答题(本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17．（本题满分12分）

在△
中，角
、
、
的对边长分别是
、
、
，且满足

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
△
的面积
试判断△
的形状，并说明理由.

18. （本题满分12分）

如图，在四棱锥中
中，底面
为菱形，

，
，点
在线段
上，

且
,
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若平面
平面
，求三棱锥
的体积.

19. （本题满分12分）

某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系,随机抽测20人,得如下数据:

序 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



身高
(厘米)

192

164

172

177

176

159

171

166

182

166



脚长
(
码 )

48

38

40

43

44

37

40

39

46

39



序 号

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20



身高
(厘米)

169

178

167

174

168

179

165

170

162

170



脚长
( 码 )

43

41

40

43

40

44

38

42

39

41



(Ⅰ)若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.请根据上表数据完成下面的
联列表:

高 个

非高个

合 计



大 脚









非大脚



12





合 计





20



(Ⅱ)根据题(1)中表格数据,若按99%的可靠性要求,能否认为脚的大小与身高之间有关系?

(Ⅲ)若按下面的方法从这20人中抽取1人来核查测量数据的误差:将一个标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子连续投掷两次,记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号.试求:抽到12号的概率.

0.050

0.010

0.001





3.841

6.635

10.828



附:

20.（本题满分12分）

给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
的“准圆”. 若椭圆
一个焦点为
，其短轴上一个端点到
的距离为
.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率和其“准圆”方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线
，使得
与椭圆C都只有一个公共点，当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线
的方程.

21．(本题满分12分)

已知函数
(
,
为自然对数的底数).

(Ⅰ)若曲线
在点
处的切线平行于
轴,求
的值;

(Ⅱ)当
的值时，若直线
与曲线
没有公共点,
求
的取值范围.

请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22. (本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，

∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。

（Ⅰ）证明：DB=DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，

求△BCF外接圆的半径.

23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴.已知直线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）求
的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线
与曲线
交于
两点，求弦长
.

24. (本题满分10分)选修4－5：不等式选讲

对于任意的实数
(
)和
,不等式
恒成立,记实数
的最大值是
.

（Ⅰ）求
的值;

（Ⅱ）解不等式
.

班级 姓名 准考证号

注意事项:

1．答题前，考生务必用0.5mm黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上
。2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。3．满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 设全集
＜
，集合
，则
等于（ D ）

A.
B.
C.
D.

2．
为虚数单位，复数
在复平面内对应的点到原点的距离为（ B ）

A．
B.
C. 1 D.

3．阅读程序框图，若输入
，则输出
分别是（ D ）

A．
B．

C．
D．

4．已知向量
，
，则
与
夹角的余弦值为（ B ）

A.
B.

C.
D.

5．下列说法正确的是（ C ）

A．要得到函数
的图象，只要将
的图象向左平移
单位

B．“
”是“函数
在区间
上为增函数”的必要不充分条件

C．若定义在
上的函数满足
，则
是周期函数

D．命题“
”是真命题

6．现有四个函数：①
；②
；③
；④
的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ B ）

A．①④③② B．①④②③　 C．④①②③　 D．③④②①

7．若
，则
的值使得过
可以做两条直线与圆
相

切的概率等于（ C ）

A．
B．
C．
D．

8. 已知数列
中满足
，
，则
的最小值为（ D ）

A. 7 B.
C.9 D.

【命题意图】考查数列求通项的方法，函数求最值的方法

【试题解析】 答案:D

，叠加得
，

.

【讲评价值】求数列通项的方法是数列的重点知识，本题考查叠加法求通项，同时还用到了重要的函数求最值的方法。

【同类变式】已知数列
中满足
，
，则

9．某三棱锥的三视图如图，则该几何体的表面积是（ B ）

A．
B．

C．
D．

10. 函数
存在与直线
平行的切线，则实数
的取值范围

是（ ）

A．
B．
C．
D．

【命题意图】导数的几何意义，方程的根．

【试题解析】
在
上有解，而
，即
在
上有解，
，因为x＞0，所以
，所以a的取值范围是
，故选B．

【讲评价值】导数的几何意义是切线的斜率，本题可以转化为导数为2有解问题，考查学生的转化能力，同时方程的根用数形结合处理也是学生应该具备的基本能力。

【同类变式】

11．以双曲线－＝1(a>0，b>0)中心O(坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线,垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（ C ）

A．
B．
C．
D．2

【命题意图】考查学生的计算能力考查双曲线的简单性质．

【试题解析】由图可得：
易得
为等边三角形，

由双曲线定义得：
，所以得离心率为

【讲评价值】圆锥曲线中的离心率问题解决化为a,c的关系式，可以从题中几何关系挖掘出此关系式，进而求解，同时还会用到双曲线的定义。

【同类变式】

12．定义在R上的奇函数
，当
≥0时，
则关于
的函数
（0＜
＜1）的所有零点之和为（ A ）

A．1-
B．
C．
D．

【命题意图】考查函数性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、图像、分段函数，绝对值函数零点求法

【试题解析】答案：A

画出y=f（x）和y=a（0＜a＜1）的图象，
共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为
，则
而
?log2（1-x3）=a?x3=1-2a，可得
．

【讲评价值】求函数零点的基本方法是①用定义求方程的解；②转
化函数图像交点的横坐标；③上述两种方法综合应用首先由函数性质作出简图，找到对称中心，对称轴，再求函数零点的和。

【同类变式】

第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）

13．抛物线
的准线方程是
，则实数
的值为 ▲

【命题意图】考查抛物线的标准方程与简单几何性质

【试题解析】答案：

准线方程是
，
，

14．若
，
，则
= ▲

【命题意图】考查三角恒等变换的方法，考查同角公式，二倍角公式的灵活应用.

【试题解析】答案：

15．已知三棱柱
的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上,

,
,则球的体积为 ▲

【命题意图】考查的空间想象能力，考查对几何体的外接球体模
型的分析和球体的表面积公式

【试题解析】答案：

由余