大同一中、同煤一中2015届高三上学期期末联合考试

理科数学试题

第Ⅰ卷　客观卷（共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分。）

1． 已知集合
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2． 若复数z满足
，则z的虚部为( )

A．
B．
C．4 D．

4． 设
，
满足约束条件
，则
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

5．已知等差数列
，满足
，则数列
的前13项之和为

A．24 B．39 C．52 D．104

6．已知函数
，且
，则函数
的图象的一条对称轴是

A．
B．
C．
D．

7．如图所示，用过A1、B、C1和C1、B、D的两个

截面截去正方体ABCD－A1B1C1D1的两个角后得

到一个新的几何体，则该几何体的正视图为（　）

8．在△ABC中，已知向量
与
满足
，且
，则△ABC为

A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形

9．已知双曲线
(
，
)的左、右焦点分别为
、
，以
、
为直径的

圆与双曲线渐近线的一个交点为
，则此双曲线的方程为

A．
B．
C．
D．

10．已知
、
表示两条不同直线，
表示平面．下列四个命题中，正确的个数是( )

　① 若
，
，则
② 若
，
，则

③ 若
，
，则
④ 若
，
，则

A．4 B．3 C．2 D．1

11．设
，
，且
，则

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
的图象与直线
恰好有一个交点．设
，当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第II卷　主观卷（共90分）

二、填空题 (每小题5分，共20分)

13．已知
，则
．

14．已知
、
、
、
，则向量
在
方向上的投影为 ．

15．已知函数
，若
，则实数
的取值范围是 ．

16．如图，已知点F为抛物线
的焦点，点P是其准

线l上的动点，直线PF交抛物线C于A、B两点。若点P

的纵坐标为
(
)，点D为准线l与x轴的交点，

则△DAB的面积S的取值范围为 ．

三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分) 如图，在平面四边形ABCD中，
、
、
，

(1) 求
的值；

(2) 若
，
，求BC的长．

18．(12分) 设
为数列
的前n项的和，已知
，
，

(1) 求
、
，并求数列
的通项公式；

(2) 求数列
的前n项和．

19．(12分) 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平

行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD

(1) 证明：PA⊥BD；

(2) 设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．

20．(12分) 如图，椭圆
(
)的离心率
，短轴的两个端点分别为B1、B2，焦点为F1、F2，四边形F1 B1F2 B2的内切圆半径为

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 过左焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，

交直线
于点P，设
，

，试证
为定值，并求出此定值．

21．(12分) 设函数
(
) (
是一个无理数)

(1) 若函数
在定义域上不是单调函数，求a的取值范围；

(2) 设函数
的两个极值点为
和
，记过点
、
的直线

的斜率为k，是否存在a， 使得
？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由．

22．(10分) 已知曲线
的参数方程是
(
为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
，正方形ABCD的顶点都在
上，且A、B、C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为
，

(1) 求点A、B、C、D的直角坐标；

(2) 设P为
上任意一点，求
的取值范围．