2015届高三年级第二次四校联考

数学（理）试题

2014.12

命题：康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中

【满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1.已知集合
，
，则集合

A.
B.
C.
D.

2. 复数
为纯虚数，若
(
为虚数单位)，则实数
的值为

A．
B．
　 　　 C．
　 　　 D．

3. 设双曲线
的渐近线方程为
，则该双曲线的离心率为

A．
　　 B．2　　　　 C．
　 D．

4. 如图所示的程序框图，若输入的
值为0，则输出的
值为

A．
B．0 C．1 D．
或0

5. 已知条件
：
，条件
：
，且
是
的充分

不必要条件，则
的取值范围是

A.
B．

C．
D．

已知实数
满足
，则
的最大值为

A．
B．
C．
D．

7. 设数列
的前
项和为
，若
，则

A．
B．
C．
D．

在三棱锥
中，
，
,二面角
的

余弦值是
，则 三棱锥
外接球的表面积是

A.
B.
C.
D.

9. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A．
B.

C.
D.

10. 设
为抛物线

上不同的两点，
为坐标原点,且
,则
面积的最小值为

A．
B．

C．
D．

在平面直角坐标系
中，已知
是函数
的图象上的动点，该图像

在点
处的切线
交
轴于点
.过点
作
的垂线交
轴于点
，设线段
的中 点的横坐标为
，则
的最大值是

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
，则方程
的根的个数不可能为

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题(4×5=20分, 把答案填在答题纸的相应位置上)

13. 已知
，
，
，则向量
与
的夹角是___________.

14. 若函数
在区间
上是单调减函数，且函数值从
减小到
，则
___________.

抛物线
的焦点为
，点
为抛物线上的动点，若
，则
的最小

值为___________.

16. 已知数列
，则
___________.

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17. (本小题满分12分)

在
中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S．已知

（1）求
; （2）若
，求S的最大值.

18．（本小题满分12分）

如图1，直角梯形
中，
∥

,
,
是底边
上的一点，且
. 现将
沿
折起到
的位置，得到如图2所示的四棱锥
且
.

（1）求证：
平面
;

（2）若
是棱
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.

19．（本小题满分12分）

在等差数列
中，
为其前
项和，已知
;正项数列
满足：

，
.

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）设
求数列
的前
项和
.

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，
分别为椭圆
：
的左、右焦点,
为短轴的一个端点，
是椭圆
上的一点，满足
，且
的周长为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设点
是线段
上的一点，过点
且与
轴不垂直的直线
交椭圆
于
两点，若
是以
为顶点的等腰三角形，求点
到直线
距离的取值范围.

21. ( 本小题满分12分)

设函数
（其中
28．．．），
，已知它们在
处有相同的切线.

(1) 求函数
,
的解析式；

(2) 求函数
在

上的最小值；

(3) 若对
，
恒成立，求实数
的取值范围．

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，
边AB上的高，

（1）证明：A、B、P、Q四点共圆；

（2）若CQ=4，AQ=1，PF=
，求CB的长.

23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
是参数

（1）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线
与曲线
相交于
、
两点，且
，求直线的倾斜角
的值．

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）解不等式
;

（2）设
，对任意
都有
，求
的取值范围.

2015届高三年级第二次四校联考理科数学参考答案

选择题（每小题5分，共60分） 1-5：ADCBA 6-10：DBCDC 11-12：BA

二、填空题（每小题5分，共20分） 13.
14.
15.
16.

三、解答题：17、 (本小题满分12分)

解：（1）条件可化为
…2分

由余弦定理可得
，
…6分

故
…8分

（2）

当且仅当
时“＝”成立 …12分

18、 (本小题满分12分)

解：（1）设
，则

∴
………2分

又

，

∴

∴
………4分

又
∩

∴
平面
………5分

（2）由（1）知：
平面
且
,分别以
为
轴、
轴、
轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图 ………6分

则

是
的中点 ∴
∴
………8分

设平面
的法向量为

由
即
令
得
………10分

设直线
与平面
所成角为
，则

∴ 直线
与平面
所成角的正弦值为
. ………12分

19、(本小题满分12分) 解：（1）设等差数列
的公差为
。

则
解得

∴
………3分

又
∵
∴

即数列
是公比为2的等比数列

∵
得：
∴
……6分

（2）

①

②

①- ②得：

………9分

∴

………12分

20、(本小题满分12分)解：（1）由已知
，设
，即

∴
即
∴
得：
①………2分

又
的周长为
∴
② ………4分

又①②得：
∴
∴所求椭圆
的方程为：
…5分

（2）设点
,直线
的方程为

由
消去
，得：

设
，