山东省青岛市2015届高三上学期期末考试

数学试题

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的.

1. 已知集合
，

A.
B.
C.
D.

2.若复数
是纯虚数，则实数
的值为

A.
B.
C.
D.

3.圆
和圆
的位置关系为

A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都有可能

4.已知函数
，则函数
的大致图象为

5.下列命题：

①
是方程
表示圆的充要条件；

②把
的图象向右平移
单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
，得到函数
的图象；

③函数
上为增函数；

④椭圆
的焦距为2，则实数m的值等于5.

其中正确命题的序号为

A.①③④ B.②③④ C.②④ D.②

6.一个几何体的的三视图如右图所示，则该几何体的体积为

A. 2 B.

C.
D.

7.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是

A. 2016 B. 2

C.
D.

8.函数
的零点所在的大致区间是

A.
B.
C.
D.

9.已知
恒成立，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
是偶函数，当
时，
恒成立，设
，则
的大小关系为

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.设非负实数
满足
，则
的最大值为_______.

12.观察式子
则可归纳出关于正整数
的式子为__________________.

13.椭圆
与双曲线
有公共的焦点
，则双曲线的渐近线方程为________.

14.若平面向量
，则
的实数
的集合为___.

15.
上恒为单调递增函数，则实数
的取值范围________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

已知直线两直线
中，内角A，B，C对边分别为
时，两直线恰好相互垂直；

（I）求A值；

（II）求b和
的面积

17. （本小题满分12分）

右图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人

（I）求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数
；

（II）现欲将90~95分数段内的
名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若
人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率；

18. （本小题满分12分）

如图，ABCD为梯形，
平面ABCD，AB//CD，

，E为BC中点

（I）求证：平面
平面PDE；

（II）线段PC上是否存在一点F，使PA//平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.

19. （本小题满分12分）

已知
是等差数列
的前n项和，数列
是等比数列，
恰为
的等比中项，圆
，直线
，对任意
，直线
都与圆C相切.

（I）求数列
的通项公式；

（II）若对任意
的前n项和
的值.

20. （本小题满分13分）

已知
处的切线为

（I）求
的值；

（II）若
的极值；

（III）设
，是否存在实数
（
，为自然常数）时，函数
的最小值为3.

21. （本小题满分14分）

已知抛物线
上一点
到其焦点F的距离为4；椭圆
的离心率
，且过抛物线的焦点F.

（I）求抛物线
和椭圆
的标准方程；

（II）过点F的直线
交抛物线
于A、B两不同点，交
轴于点N，已知
，求证：
为定值.

（III）直线
交椭圆
于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为
，
，

，若点S满足：
，

证明：点S在椭圆
上.

第一学期学分认定考试

高三数学（文）试题 2015.01

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．

1-5 CCADD 6-10 CBBDA

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
12．
13．
14．

15．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤．

16．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)当
时，直线
的斜率分别为
，两直线相互垂直

所以

即

可得

所以
，所以

即

即
…………………………4分

因为
，
，所以

所以只有

所以
………………………………6分

(Ⅱ)
,

所以

即
，所以

即
…………………9分

所以
的面积为
……………………12分

17．（本小题满分12分）

(Ⅰ)
分数段频率

为
,

此分数段的学员总数为
人所以毕业生

的总人数
为
…………3分

分数段内的人数

频率为
所以
分数段内的人数
………………………6分

(Ⅱ)
分数段内的
人中有两名男生,
名女生

设男生为
;女生为
,设安排结果中至少有一名男生为事件

从中取两名毕业生的所有情况(基本事件空间)为

…………………………………………9分

共
种组合方式,每种组合发生的可能性是相同的

其中, 至少有一名男生的种数为
共
种

所以,
……………………………………12分

18．（本小题满分12分）

证明:(Ⅰ) 连结

所以

为
中点

所以
……………………3分

又因为
平面
,

所以

因为
………………4分

所以
平面
………………5分

因为
平面
,所以平面
平面
………………6分

(Ⅱ)当点
位于
三分之一分点(靠近
点)时,
平面
………………7分

连结
交于
点

,所以

所以
中,
………………10分

而

所以
…………………………11分

而
平面

平面

所以
平面
……………………………12分

19．（本小题满分12分）

解: (Ⅰ) 圆
的圆心为
,半径为
,对任意
,直线
都与圆
相切.

所以圆心
到直线
的距离
为

所以
…………………………3分

得

所以
,
…………………4分

当
时,

当
时,

综上,对任意
,
…………………………5分

设等比数列
的公比为
,所以

恰为
与
的等比中项
,
,所以

,解得
…………………7分

所以
………………………8分

(Ⅱ) 因为

所以

两式相减得

即:
………………10分

所以
…………………………………12分

20．（本小题满分13分）

解: (Ⅰ)
在
处的切线为

所以
,即

又在
处
,所以

所以
,可得

所以
……………………………3分

(Ⅱ)
时
,定义域为























极小值





可以看出,当
时,函数
有极小值
………………………………8分

(Ⅲ) 因为
,

所以

假设存在实数
，使
有最小值
,

…………………9分

①当
时，
，所以

在
上单调递减，
（舍去）… …………10分

②当
时,

(i)当
时,
，
在