山东省青岛市2015届高三上学期期末考试

数学试题

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的.

1.已知集合
，则

A.
B.
C.
D.

2.若复数
是纯虚数，则实数
的值为

A.
B.
C.
D.

3.圆
和圆
的位置关系为

A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都有可能

4.已知函数
，则函数
的大致图象为

5.下列命题：

①
是方程
表示圆的充要条件；

②把
的图象向右平移
单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
，得到函数
的图象；

③函数
上为增函数；

④椭圆
的焦距为2，则实数m的值等于5.

其中正确命题的序号为

A.①③④ B.②③④ C.②④ D.②

6.若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是

A.1：16 B.39：129

C.13：129 D.3：27

7.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是

A. 2016 B. 2

C.
D.

8.函数
的零点所在的大致区间是

A.
B.

C.
D.

9.有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是
，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少以后一位同学能通过测试的概率为

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
有两个极值点
，则直线
的斜率的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.
的展开式中的常数项是_________.

12.当
时，函数
的图像恒过点A，若点A在直线
上，则
的最小值为_________.

13.两曲线
所围成的图形的面积是_________.

14.若数列
的通项公式为
,试通过计算
的值，推测出
_________.

15.已知双曲线的方程为
，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为__________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

已知直线两直线
中，内角A，B，C对边分别为
时，两直线恰好相互垂直；

（I）求A值；

（II）求b和
的面积

17. （本小题满分12分）

右图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人

（I）求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数
；

（II）现欲将90~95分数段内的
名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为
，求
名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？

（III）在（II）的结论下，设随机变量
表示n名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求
的分布列和数学期望.

18. （本小题满分12分）

如图，ABCD为梯形，
平面ABCD，AB//CD，

，E为BC中点，连结AE，交BD于O.

（I）平面
平面PAE

（II）求二面角
的大小（若非特殊角，求出其余弦即可）

19. （本小题满分12分）

已知
是等差数列
的前n项和，数列
是等比数列，
恰为
的等比中项，圆
，直线
，对任意
，直线
都与圆C相切.

（I）求数列
的通项公式；

（II）若
时，
的前n项和为
，求证：对任意
，都有

20. （本小题满分13分）

已知
处的切线为

（I）求
的值；

（II）若
的极值；

（III）设
，是否存在实数
（
，为自然常数）时，函数
的最小值为3.

21. （本小题满分14分）

已知抛物线
上一点
到其焦点F的距离为4；椭圆
的离心率
，且过抛物线的焦点F.

（I）求抛物线
和椭圆
的标准方程；

（II）过点F的直线
交抛物线
于A、B两不同点，交
轴于点N，已知
，求证：
为定值.

（III）直线
交椭圆
于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为
，
，

，若点S满足：
，

证明：点S在椭圆
上.



16．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)当
时，直线
的斜率分别为
，两直线相互垂直

所以

即

可得

所以
，所以

即

即
…………………………4分

因为
，
，所以

所以只有

所以
………………………………6分

(Ⅱ)
,

所以

即

所以

即
…………………………9分

所以
的面积为
……………………12分

(Ⅱ)
分数段内共
名毕业生,设其中男生
名,女生为
名

设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件
,则

则

解得
或
(舍去)

即
名毕业生中有男生
人,女生
人…………………8分

(Ⅲ)
表示
名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数,

所以
的取值可以为

当
时,

当
时,

当
时,

所以
的分布列为



















所以随机变量
数学期望为
………………………12分

18．（本小题满分12分）

(Ⅰ) 连结

,所以

为
中点,所以,

因为
,

所以
与
为全等三角形

所以

所以
与
为全等三角形

所以在
中,
,即
………………3分

又因为
平面
,
平面

所以
……………………………4分

而

所以
平面
………………………5分

因为
平面

所以平面
平面
……………………6分

(Ⅱ) 以
为原点,分别以
所在直线

为
轴,建立空间直角坐标系如图

二面角
即二面角

平面
,平面
的法向量可设为

……………7分

设平面
的法向量为

所以
,而

即:
,可求得
………………………………10分

所以两平面
与平面
所成的角的余弦值

为
………………………………12分

设等比数列
的公比为
,所以

恰为
与
的等比中项
,
,所以

,解得
………………………7分

所以
……………………8分

(Ⅱ)
时,

而
时,
………………………10分

所以

……………………………12分

说明:本问也可用数学归纳法做.

20．（本小题满分13分）

解: (Ⅰ)
在
处的切线为

所以
,即

又在
处
,所以

所以
,可得

所以
……………………………3分

(Ⅱ)
时
,定义域为























极小值





可以看出,当
时,函数
有极小值
………………………………8分

(Ⅲ) 因为
,

所以

假设存在实数
，使
有最小值
,

…………………9分

①当
时，
，所以

在
上单调递减，
（舍去）… …………10分

②当
时,

(i)当
时,
，
在
上恒成立

所以
在
上单调递减，