2015年深圳市高三年级第一次调研考试

数学(理科)试题

选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合
，集合
，则
＝（ ）

A.
B。
C。
D。

2、已知复数
满足
（其中
为虚数单位），则
（ ）

A.
B。
C。
D。

3、若函数
的部分图象如图1所示，则

A.
B。

C.
D。

4、已知实数
满足不等式组
，则
的最大值为（ ）

A.3 B。4 C。6 D。9

已知直线
，平面
，且
，
，则“
”是“
”的（ ）

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6、执行如图2所示的程序框图，则输出S的值为（ ）

A. 16 B。25 C。36 D。49

7、在
中，
分别为
所对的边，若函数
有极值点，则
的范围是（ ）

A.
B。
C。
D。

8、如果自然数
的各位数字之和等于8，我们称
为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列
…，若
，则
（ ）

A. 83 B。82 C。39 D。37

填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和选做题两部分

必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。

的展开式中常数项为 .（用数字表示）

已知向量
，

，若
，则
的最小值为

已知圆C：
经过抛物线E：
的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长

为

设P是函数
图象上的动点，则点P到直线
的距离的最小值为

选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线
：
与曲线
相交于A，B两点，则｜AB｜＝

（几何证明选讲选做题）如图3，在
中，
，
，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙
与AC相切于点E。若BC＝6，则DE的长为

三、解答题

16、（本小题满分12分）

函数
（
）的最小正周期是
．

（1）求
的值；

（2）若
，且
，求
的值．

17、（本小题满分12分）

空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：

城市

 AQI数值

城市

 AQI数值

城市

 AQI数值

城市

 AQI数值

城市

 AQI数值

城市

 AQI数值

城市

 AQI数值



广州

118

东莞

137

中山

95

江门

78

云浮

76

茂名

107

揭阳

80



深圳

94

珠海

95

湛江

75

潮州

94

河源

124

肇庆

48

清远

47



佛山

160

惠州

113

汕头

88

汕尾

74

阳江

112

韶关

68

梅州

84



（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：

空气质量

优质

良好

轻度污染

中度污染



AQI值范围

[0,50)

[50，100）

[100,150)

[150,200)



城市个数











 （2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取
个城市，省环保部门再从中随机选取
个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为
”，求
的分布列和数学期望．

18、（本小题满分14分）

在三棱锥
中，已知平面
平面
，
是底面△
最长的边．三棱锥
的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．

（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥
的直观图补充完整（其中点
在

平面内），并指出三棱锥
的哪些面是直角三角形；

（2）求二面角
的正切值；

（3）求点
到面
的距离．

19、（本小题满分14分）

已知首项大于
的等差数列
的公差
，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足：
，
，
，其中
．

①求数列
的通项
；

②是否存在实数
，使得数列
为等比数列？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

20、（本小题满分14分）

已知椭圆

的离心率为
，过左焦点倾斜角为
的直线被椭圆截得的弦长为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若动直线
与椭圆
有且只有一个公共点，过点
作
的垂线垂足为
，求点
的轨迹方程．

21、（本小题满分14分）

已知定义在
上的奇函数
满足：当
时，
．

（1）求
的解析式和值域；

（2）设
，其中常数
．

①试指出函数
的零点个数；

②若当
是函数
的一个零点时，相应的常数
记为
，其中
．

证明：
（
）．

2015年深圳市高三年级第一次调研考试

数学(理科)答案及评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．

1

2

3

4

5

6

7

8



C

D

A

C

B

C

D

A



二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．

9．
； 10．
； 11．
； 12．
；

13．
；　 14．
；　 15．
．

三、解答题

16．解：（1）
的周期
，即
， …………………………………………1分

， 由
，得
，即
． ……………………………………3分

． ………………………………5分

（2）由
得
， ………………………………7分

又
，

， ……………………………………………8分

， …………………………………………9分

．

． …………………………………………12分

【说明】 本小题主要考查了三角函数
的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力．

17、解:（1）根据数据，完成表格如下：

空气质量

优质

良好

轻度污染

中度污染



AQI值范围

[0,50)

[50，100）

[100,150)

[150,200)



城市频数

2

12

6

1



 …………………………………2分

（2）按分层抽样的方法， 从“良好”类城市中抽取
个， ………………………………… 3分

从“轻度污染”类城市中抽取
个， ……………………………4分

所以抽出的“良好”类城市为
个，抽出的“轻度污染”类城市为
个．

根据题意
的所有可能取值为：
．

,
，
．………8分

的分布列为：



















所以
． ………………………………………………11分

答：
的数学期望为
个． …………………………………………………12分

【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．

18、解：（1）三棱锥
直观图如图1所示；

由三视图知
和
是直角三角形． ……………………3分

（2）（法一）：如图2，过
作
交
于点
，

由三视图知
为等腰三角形，

，
，

，

取
的中点
，过
作
且交

于点
，连接
，
，

因为
，由三视图知
面
，

且
面
，所以
，

又由
，所以
面
，

由
面
，所以
，

，所以
面
，

由
面
，所以
，

所以
是二面角
的平面角．………6分

，
，

，
， ……………………………………8分

在直角
中，有
．

所以，二面角
的正切值为
． ………………………………………9分

（法二）：如图3，过
作
交
于点
，由三视图知
为等腰三角形，

，
，

由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：

，
，
，
，

则
，