2015年深圳市高三年级第一次调研考试

数学（文科）试题

选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合
，集合
，则
＝（ ）

A.
B。
C。
D。

2、
是虚数单位，复数
的虚部是（ ）

A.
B。
C。1 D。－1

3、在四边形ABCD中，“
”是“ABCD是平行四边形”的（ ）

充分不必要条件 B.充要条件

C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4、若函数
的部分图象如图1所示，则

A.
B。

C.
D。

5、已知实数
满足不等式组
，则
的最大值为（ ）

A.3 B。3 C。4 D。5

如图2，三棱锥A－BCD中，AB
平面BCD，BC
CD，若AB＝BC＝CD＝2，则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD）的面积为（ ）

B。2 C。
D。

在
中，A，B，C所对的边分别为
，若A＝
，
，
，则
的面积为（ ）

B。
C。
D。2

已知
分别是双曲线
（
）的左、右焦点，点P在C上，若
，且
，则C的离心率是（ ）

B。
C。
D。

函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B。
C。
D。

在平面直角坐标系
中，设点M与曲线
上任意一点距离的最小值为
。若
，则称
比
更靠近点M，下列为假命题的是（ ）

：
比
：
更靠近
　　　　　　

B。
：
比
：
更靠近
　

C.若
：
比
：
更靠近点
，则
　

D.若
，则
：
比
：
更靠近点

填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分满分20分。本大题分为必做题和选做题两部分

必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。

已知函数
，则

将容量为
的样本中的数据分成5组，绘制频率分布直方图。若批1至第5个长方形的面积之比3：4：5：2：1，且最后两组数据的频数之各等于15，则
等于

执行图3的程序框图，则输出
的值为

选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点
到直线
的距离等于

（几何证明选讲选做题）如图4，在
中，
，
，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙
与AC相切于点E。若BC＝6，则DE的长为

三、解答题

16．（本小题满分12分）

函数
（
）的最小正周期是
．

（1）求
的值；

（2）若
=
，且
，求
的值．

（本题满分12分）

空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了AQI实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：

城市

 AQI数值

城市

 AQI数值

城市

 AQI数值

城市

 AQI数值

城市

 AQI数值

城市

 AQI数值

城市

 AQI数值



广州

118

东莞

137

中山

95

江门

78

云浮

76

茂名

107

揭阳

80



深圳

94

珠海

95

湛江

75

潮州

94

河源

124

肇庆

48

清远

47



佛山

160

惠州

113

汕头

88

汕尾

74

阳江

112

韶关

68

梅州

84





请根据上表中的数据，完成下列表格：

空气质量

优质

良好

轻度污染

中度污染





AQI值范围

[0,50)

[50，100）

[100,150)

[150,200)





城市个数















（2）现从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式确定6个城市，省环保部门再从中随机选取2个城市组织专家进行调研，则选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染”的概率是多少？

（本小题满分14分）

如图5，在四棱锥
中，底面ABCD是平行四边形，侧SBC是正三角形，点E是SB的中点，且AE
。

（1）证明：
；（2）若
，
，求点S到平面ABC的距离。

19、（本小题满分14分）

已知各项为正的等差数列
的公差为
，且
。

求数列
的通项公式；

若数列
满足：
，
（
），是否存在实数
，使得数列
为等比数列？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由。

20、（本小题满分14分）

如图5，A，B分别是椭圆C：
的左右顶点，F为其右焦点，2是｜AF｜与｜FB｜的等差中项，
是｜AF｜与｜FB｜的等比中项。

求椭圆C的方程；

已知点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线
过点A且垂直于
轴，若过F作直线FQ垂直于AP，并交直线
于点Q。证明：Q，P，B三点共线。

21、（本小题满分14分）

已知
，函数
，
，且曲线
与曲线
在
处有相同的切线。

求
的值；（2）证明：当
时，曲线
恒在曲线
的下方；

（3）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围。