绝密★启用前

揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试

数学(理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：样本数据
的标准差，
，

其中
表示样本均值．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，
，则

A.
B.
C.

D.

2．设
为虚数单位，复数
，则
的共轭复数为

A.
B.
C.
D．

3．已知命题
：四边形确定一个平面；命题
：两两相交的三条直线确定一个平面．则下列命题为真命题的是

A．
B．
C．
D．

4．已知数列
的前n项和
，则
的值为

A．9 B．18 C．21 D．

5．已知
，
，
与
的夹角为120°，则
的值是.

A．-84 B．144 C．-48 D．-72

6．若变量
满足约束条件
，且
，则
的最大值为

A．18 B．2 C．9 D．

7．图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在
的用户数为A1，用电量在
的用户数为A2，……，以此类推，用电量在
的用户数为A6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为

A．82 B．70 C．48 D．30

8．已知函数
的定义域为R，若
、
都是奇函数，则

A.
是奇函数 B.
是偶函数 C.
是偶函数 D.
是奇函数

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9－13题）

9．一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________.

10．函数
的图象与
轴相交于点
，则曲线在

处的切线方程是 ．

11．在
的二项展开式中，常数项等于 .

12．抛物线
上到焦点的距离等于6的点的坐标为 ．

13．在区域
中随机取一点
,则满足
的概率为 .

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14. (坐标系与参数方程选做题)

在极坐标系
中，曲线
与

的交点的极坐标为 ．

15. （几何证明选讲选做题）

如图4，锐角三角形ABC是一块钢板的余料，边BC=24cm，BC边上的高

AD=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两

个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的面积为 cm2．

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在
中，内角A，B，C的对边分别为
且
，已知
的面积
，
，
.

（1）求
和
的值；

（2）求
的值．

17．（本小题满分12分）

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用
表示编号为

的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号

1

2

3

4

5



成绩

70

76

72

70

72



（1）求第6位同学的成绩
，及这6位同学成绩的标准差
；

（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为
，

求
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图5，四棱锥
中，底面
为矩形，

平面
，E为PD的中点．

（1）证明：
平面
；

（2）已知
，
，设EC与平面ABCD所成的角为
，

且
，求二面角
的大小． 图5

19．（本小题满分14分）

已知函数
，数列
满足
．

（1）求
的值；

（2）求数列
的通项公式；

（3）证明：
．

20．（本小题满分14分）

已知双曲线
的焦点分别为
,且双曲线
经过点
.

（1）求双曲线
的方程；

（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线
上，且
，是否存在以点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分14分）

若实数
、
、
满足
，则称
比
更接近
.

（1）若
比1更接近0，求
的取值范围；

（2）对任意两个正数
、
，试判断
与
哪一个更接近
？并说明理由；

（3）当
且
时，证明：
比
更接近
.

揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试

数学(理科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

一、选择题：DACB CBAD

解析：7．由图2知，输出的
，由图1知

,故s=100-18=82，选A.

8．由
、
都是奇函数得
，
，从而有
，
，故有

，即
是以4为周期的周期函数，因
为奇函数，8也是函数
的周期，所以
也是奇函数.选D.

二、填空题：9.
；10.
；11.
；12.
；13.
；14.
； 15. 64.

解析：13.如图，满足
的点
落在图中阴影部分，根

据对称性易得其面积为
，故所求概率
.

或
.

三、解答题：

16．解：（1）∵
>0 ∴
∴
--------------1分

由
,得
-------------------①-------------------------------3分

由余弦定理得：
,∴
---------------②-------------5分

由①②结合
，解得
.-----------------------------------------------7分

(2)由正弦定理知
，∴

，---------------------------9分

∵
，∴
,

∴
,---------------------------------------------------10分

∴

------------------------------------------11分

.---------------------------------------------------12分

17.解：（1）由
，---------------------------------2分

解得
，-------------------------------------------------------------------3分

这6位同学成绩的标准差：
.------6分

（2）这6位同学中，成绩落在（70，75）的有编号为3、5两位同学，

故
的可能取值为：0，1，2 . -----------------------------------------------------7分

且
，-----------------------------------------------------------8分

，-----------------------------------------------------------9分

，--------------------------------------------------------10分

0

1

2













∴
的分布列为------------------------------11分

的数学期望：
.---------------------------------------12分

18.解：(1)证明：连结BD交AC于点O，连接EO.

∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点-------------------1分

又E为PD的中点，∴EO∥PB. ----------------------2分

∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，

∴PB∥平面AEC．----------------------------------3分

（2）过点E作EF//PA交AD于F，连结FC，

∵
平面
，

∴EF⊥平面
,且

∴
-------------------------------------4分

由
得
---------------------5分

则
，------------------------6分

解法一：

过D作
交AE于点Q，连结CQ，

∵
面
，∴面
面
，----------7分

又面
面
，

∴
面
--------------------------------8分

面

，且

面
，故
---------------------------------------------------9分

∴
是二面角
的平面角. -----------------------------------------10分

∵
,
,∴

又∵E为PD的中点，∴
--------------------------------------11分

在
中，

∴
，-----------------------------------------------13分

∵

，即二面角
的大小为
.--