2015届高三年级调研测试

数 学（理 科）

本试卷共4页，共21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

参考公式：

棱锥的体积公式：
，
是棱锥底面积，
是棱锥的高.

2.
个数据
的平均数为
,这组数据的方差:

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. ．已知集合
，
，下列结论成立的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
为虚数单位，复数
在复平面对应点
在（　）

A．第一象限　　　　 B. 第二象限　　　C．第三象限　　 D. 第四象限

3. 设
，向量
，
，且
，则
（ ）

A．
B.
C． B.
D.

4. 已知
为第二象限角，
，则

5. 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）

A．
B．

C．
D．
m]

6. 过双曲线
的右焦点
作垂直于
轴的直线，交双曲线的渐近线于
两点，若
（
为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )

A．
B．
C．
D．

7. 如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的

侧面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 记
表示不超过
的最大整数，函数

，

在
时恒有
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

（一）必做题（9~13题）

9. 数列
满足
,
,且前
项之和等于
,则该数列的通项公式

10.
展开式中的常数项为________________(具体数字作答).

11. 已知
，
满足
则
的最小值　　___________．

12. 若不等式
解集是空集，则实数
的取值范围是_________.

13. 在平面直角坐标系中，有一个以
为顶点，边长为1的正方形
，其中
,曲线
与
在正方形内围成一小片阴影，在正方形内任取一点
，则点
取自阴影部分的概率为________.

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆
上的动点
到直线
的距离最小值是 .

15. （几何证明选讲选做题）如图，在半圆
中，
是圆
上一点，直径

，垂足为
，
，垂足为
，若
，
，则
.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的最小正周期和最大值；

（2）设
的三内角分别是A、B、C. 若
，且
,求
的值.

17. （本小题满分12分）

某校为了响应《中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》精神，落实“生命—和谐”教育理念和阳光体育行动的现代健康理念，学校特组织“踢毽球”大赛，某班为了选出一人参加比赛，对班上甲乙两位同学进行了
次测试，且每次测试之间是相互独立.成绩如下：（单位：个/分钟）

甲

80

81

93

72

88

75

83

84



乙

82

93

70

84

77

87

78

85



（1）用茎叶图表示这两组数据

（2）从统计学的角度考虑，你认为选派那位学生参加比赛合适，请说明理由？

（3）若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩高于
个/分钟的次数为
，求
的分布列及数学期望
.

（参考数据：
，

）

18. （本小题满分14分）

如图，
是边长为
的正方形，
是矩形，平面
平面
,
为
的中点．

(1)求证：
//平面
；

(2)若三棱锥
的体积为
，求二面角
的正切值.

19.（本小题满分14分）

已知数列
满足
，
，
．

（1）求证：数列
是等差数列；

（2）求证：
.

20.（本小题满分14分）

设
、
是焦距为
的椭圆
的左、右顶点，曲线
上的动点
满足
，其中，
和
是分别直线
、
的斜率.

（1）求曲线
的方程；

（2）直线
与椭圆
只有一个公共点且交曲线
于
两点，若以线段
为直径的圆过点
，求直线
的方程.

21.（本小题满分14分）

已知函数
，
，
；

（1）设
，若
在定义域内存在极值，求
的取值范围；

（2）设
是
的导函数，若
，
，

，求证：
.

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