试卷类型：A

肇庆市中小学教学质量评估

2015届高中毕业班第二次统一检测题

数 学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：锥体的体积公式
，其中S为锥体的底面积，
为锥体的高.

一组数据
的标准差
，其中
表示这组数据的平均数．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设
为虚数单位，则复数
=

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
为实数，且
，
为实数，且
，则A∩B的元素个数为

A．无数个 B．3 C．2 D．1

3．已知向量
．若
为实数，
，则

A．
B．
C．1 D．2

4．若
是真命题，
是假命题，则

A．
是真命题 B．
是假命题 C．
是真命题 D．
是真命题

5．已知等差数列{
}，
，则此数列的前11项的和

A．44 B．33 C．22 D．11

6．下列函数为偶函数的是( )

A．
B．
C．
D．

7．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是

8．设变量x，y满足约束条件
则目标函数
的取值范围是

A．
　　 　B．
　　　 C．
　 　　D．

9．已知
，
是
的导函数，即
，

，…，
，
，则

A．
B．
C．
D．

10．集合
由满足：对任意
时，都有
的函数
组成．对于两个函数
，以下关系成立的是

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11～13题）

11．在
中，若
，则
▲ .

12．若
在
不是单调函数，则
的范围是 ▲ .

13．已知函数
，
，则
的最小值是 ▲ .

（ ）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线
的方程为
，则点
到直线
的距离为 ▲ .

15．（几何证明选讲选做题）如图，
是圆
的切线，
是圆
的割线，若
，
，
，则圆
的半径
▲ .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. （本小题满分12分）

已知向量
互相平行，其中
．

（1）求
和
的值；

（2）求
的最小正周期和单调递增区间.

17．（本小题满分12分）

贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站. 记者对广东省内的6个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下：

车站

怀集站

广宁站

肇庆东站

三水南站

佛山西站

广州南站



满意度得分

70

76

72

70

72

x



已知6个站的平均得分为75分.

（1）求广州南站的满意度得分x，及这6个站满意度得分的标准差；

（2）从广东省内前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率．

18．（本小题满分14分）

如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，
，
，
，BC=6.

（1）证明：平面ADC(平面ADB；

（2）求B到平面ADC的距离.

19．（本小题满分14分）

已知在数列
中，
，
，
.

（1）证明数列
是等差数列，并求
的通项公式；

（?）设数列
的前
项和为
，证明：
.

20．（本小题满分14分）

已知函数
（
）．

（1）若
时，求函数
的值域；

（2）若函数
的最小值是1，求实数
的值.

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
.

（1）讨论
的单调区间；

（2）当
时，求
在
上的最小值，

并证明
.

肇庆市2015届高中毕业班第二次统测

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

B

D

C

D

D

A

B

A





二、填空题

11．
12．
13．
14． 3 15．

三、解答题

16．（本小题满分12分）

解：（1）因为
与
互相平行，则
， （3分）

又
，所以
，所以
. （6分）

（2）由
，得最小正周期
（8分）

由
，得
（11分）

所以
的单调递增区间是
（12分）

17．（本小题满分12分）

解：（1）由题意，得
，解得
. （2分）

（5分）

（2）前5个站中随机选出的2个站，基本事件有 （怀集站，广宁站），（怀集站，肇庆东站），（怀集站，三水南站），（怀集站，佛山西站），（广宁站，肇庆东站），（广宁站，三水南站），（广宁站，佛三西站），（肇庆东站，三水南站），（肇庆东站，佛山西站），（三水南站，佛山西站）共10种， （8分）

这5个站中，满意度得分不在区间（68，75）中的只有广宁站.

设A表示随机事件“从前5个站中，随机地选2个站，恰有1个站得分在区间（68，75）中”，则A中的基本事件有4种， （10分）

则
（12分）

18．（本小题满分14分）

（1）证明：因为
，

所以
. （3分）

又
，所以
. （4分）

又
，且
，

所以
. （5分）

又
，所以
.（6分）

（2）在
中，
，得
，（7分）

在等腰
中，
，得
. （8分）

由（1）知
，所以
， （9分）

在
中，
，
，得
，（10分）

又
，设
到面
的距离为
，

由
， （12分）

得
， （13分）

解得
，即B到平面ADC的距离
. （14分）

19．（本小题满分14分）

解：（1）方法一：

由
，得
， （2分）

两式相减，得
，即
， （4分）

所以数列
是等差数列. （5分）

由
，得
，所以
， （6分）

故

. （8分）

方法二：

将
两边同除以
，得
，（3分）

即
. （4分）

所以
（5分）

所以
（6分）

因为
，所以数列
是等差数列. （8分）

（2）因为
，??????????????????（11分）

所以

（
） （14分）

20．（本小题满分14分）

解：（1）
（
） （1分）

设
，得
（
）. （2分）

当
时，
（
）. （3分）

所以
，
. （5分）

所以
，
，故函数
的值域为[
，
]． （6分）

（2）由（1）
（
） （7分）

①当
时，
， （8分）

令
，得
，不符合舍去； （9分）

②当
时，
， （10分）

令
，得
，或
，不符合舍去； （11分）

③当
时，
， （12分）

令
，得
，不符合舍去. （13分）

综上所述，实数
的值为
． （14分）

21．（本小题满分14分）

解：（1）
的定义域为
. （1分）

（3分）

当
时，
在
上恒成立，所以
的单调递增区间是
，无单调递减区间. （5分）

当
时，由
得
，由
得