2015届高三调研测试题

数学试题（文科）

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.

　　2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

　　3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.

参考公式:

1.锥体的体积公式
，其中S为锥体的底面面积，
为锥体的高.

2.柱体的体积公式
，其中S为柱体的底面面积，
为柱体的高.

3.
个数据
的平均数为
,这组数据的方差:

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合
，且
，则集合
可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知
为虚数单位，复数
,
＝（　）

A．1　　　　　 B.
　　　　　 C．
　　　　 D.3

3．下列函数中，在定义域上既是奇函数又存在零点的函数是（ ）.

A．
B.
C．
D.

4.已知
为第二象限角，
，则
( )

5. 阅读程序框图，运行相应的程序，则输出
的值为（　　）

A．
B．
C．
D．

6．已知两条直线
，两个平面
．给出下面四个命题：（ ）

①
； ②

；

③
； ④
．

其中正确的命题序号为 （ ）

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

7．右图是一容量为
的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本

的平均重量为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 设变量
，
满足约束条件
，则
的最大值为（ ）

A．
B．4 C．3 D．

9. 过双曲线
的右焦点
作垂直于
轴的直线，交双曲线的渐近线于
两点，若
（
为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )

A．
B．
C．
D．

10.记
表示不超过
的最大整数，例如
，
. 函数

，在
时恒有
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分.

(一)必做题(11～13题)

11. 设
，向量
，
，且
，则
___________.

12. 设曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
————.

13．已知各项都是正数的等比数列
满足
，若存在不同的两项
和
，使得
，则
的最小值是__________.

(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆
＝4cos
的圆心到直线

的距离是＿＿＿.

15.（几何证明选讲选做题）

如图，在半圆
中，
是圆
上一点，
直径


，垂足为
，

，垂足为
，若
，
，则
.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．(本题满分１２分)

已知函数

（1）求函数
的最小正周期和最大值；

（2）设
的三内角分别是A、B、C. 若
，且
,求边
和
的值.

17. (本题满分１２分)

汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2015年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）.

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为
.

(1) 求表中
的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性;

(2) 从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过
的概率是多少？

18．(本题满分１４分)

如图，
是边长为
的正方形，
是矩形，平面
平面
,
为
的中点．

(1)求证：
//平面
；

(2)若三棱锥
的体积为
，求三棱柱
的体积.

19．(本题满分１４分)

已知数列
满足
，
．

（1）求证：数列
是等差数列；

（2）设
，数列
的前
项之和为
，求证：
.

20．(本题满分１４分)

设
、
是焦距等于
的椭圆
的左、右顶点，曲线
上的动点
满足
，其中
和
分别是直线
、
的斜率.

（1）求曲线
的方程；

（2）直线
与椭圆
只有一个公共点且交曲线
于
两点，若以线段
为直径的圆过点
，求直线
的方程.

21．(本题满分１４分)

已知函数
，
,
.

(1)若函数
在区间
内恰有两个零点，求实数
的取值范围；

(2)若
，设函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
,记
,求函数
在区间
上的最小值.

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