惠州市2015届高三第三次调研考试

数 学 试 题 （文科）和参考答案 2015.1

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式
，其中
为锥体的底面积，
为锥体的高.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1．若集合
则集合
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知0＜a＜2，复数
(i是虚数单位)，则
的取值范围是（ ）

A．
B．(1,5) C．(1,3) D．

3．函数
的定义域为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．等差数列
的前
项和为
，且
，则公差
等于（ ）

A．1 B．
C．
D．3

5．已知
，则“
”是“
”成立的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．圆
与圆
的位置关系为（ ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

7．下列命题正确的是（ ）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

8．设变量
满足约束条件
,

则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（ ）

A．72 B．36 C．24 D．12

10．已知函数
是定义在
上的奇函数，若对于任意两个实数
，不等式

恒成立，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分）

（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

11．已知向量
，且
，则实数
____________．

12．在
中，内角
对边的边长分别是
，若
，
，
，

则
____________．

13．
是平面内不共线的三点，点
在该平面内且有
，现将一粒黄豆随机

撒在
内，则这粒黄豆落在
内的概率为___________．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线

被圆
截得的弦长为____________．

15．（几何证明选做题）如图，已知
内接于圆
，点
在

的延长线上，
切圆
于
，若
,
,

则
的长为____________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分12分）

已知向量
.令
，

（1）求
的最小正周期；

（2）当
时，求
的最小值以及取得最小值时
的值.

17.（本小题满分12分）

甲高中

乙高中

丙高中



女生

153







男生

97

90





惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如右表：

已知在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为
．

（1）求表中
的值；

（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有高三文科学生中利用随机

数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001,002，…,800进行编号。

如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的3个人的编号；

（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）

8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392

6301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 4439

1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931

（3）已知
，
，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率。

18．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱
中，
，
、
分别是
，
的中点．

（1）求证：
∥平面
；

（2）求证：平面
平面
；

（3）若
，
，

求三棱锥
的体积．

19．（本小题满分14分）

已知递增等差数列
中的
是函数
的两个零点．数列
满足，点
在直线
上，其中
是数列
的前
项和．

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）令
，求数列
的前n项和
．

20.（本小题满分14分）

已知直线
上有一个动点
，过点
作直线
垂直于
轴，动点
在
上，且满足
(
为坐标原点)，记点
的轨迹为
．

（1）求曲线
的方程；

（2）若直线
是曲线
的一条切线，当点
到直线
的距离最短时，求直线
的方程．

21．(本小题满分14分)

已知函数
的导函数．

（1）若
，不等式
恒成立，求a的取值范围；

（2）解关于x的方程
；

（3）设函数
，求
时的最小值．

惠州市2015届高三第三次调研考试

数 学 试 题 (文科）参考答案 2015.1

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

C

C

A

B

C

B

D

D



1．【解析】直接可得
,故选A .

2．【解析】
，而
，即
，
，故选D .

3．【解析】函数式若有意义需满足条件：
取交集可得：
，故选C .

4．【解析】等差数列中，由
，且
得
，则
，故选C .

5．【解析】因为
，所以
，则“
”是“
”的充分而不必要条件。先解出
，再进行判断即可。故选A .

6．【解析】通过求出两圆心的距离为：

<5，即
，因此选B .

7．【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，

也可能相交，所以A错；两平面相交时也可以有三个点到另一个平面的距离相等，故B错；

若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；

故D错；故选项C正确.

8．【解析】目标函数
可以变形为
，则表示为可行域内的点
和原点
连线的直线的斜率，由图可知：当其经过点
时，直线的斜率最大，即
有最大值为
，故选B .

9．【解析】本题的直观图是一个三棱锥.由三视图知底面三角形的高为3，底边长为6，则底面三角形的面积为
，由侧视图知有一条侧棱与底面垂直，三棱锥的高为4，直接代公式可求体积
，故选D .

10．【解析】函数
是定义在
上的奇函数，则关于原点对称，由函数
的图像向左平移一个单位得到函数
的图像，则函数
的图像关于点
对称；又对于任意的
满足不等式
可知，函数
在
上单调递增，结合图像可知
得
，则
，故选D．

二、填空题：（每小题5分，共20分）

11、 0． 12、
13、
14、
15、

11【解析】∵
，且
，∴
，解之可得x=0．故答案为0.

12【解析】根据正弦定理
可得
解得
，又因为
，则
，故B为锐角，所以
，故答案为
.

13【解析】由

，则点
是边
的三等分点（靠近点
），得长度关系
，且
与
的高相等，则：
，所以所求概率为
.

14【解析】直线
的直角坐标方程为
，圆
的直角坐标方程为
，因为圆心（0,0）到直线的距离d=2,半径r=4，所以截得的弦长为
.

15【解析】∵OA=OC，且
，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴AD=
?AO=
．故答案为：
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分12分）

【知识点】
的图像及性质.

【解析】
………………………….2分

………………… …...4分

………………………………………………………5分

（1）由最小正周期公式得：
…………………………………………6分

（2）
，则
…………………………………………7分

令
，则
，……………………………………………….8分

从而
在
单调递减，在
单调递增 ……………….10分

即当
时，函数
取得最小值
……………………………12分

【思路点拨】先利用平方差公式把原式展开，再利用辅助角公式进行化简，（1）由最小正周期公式得结果；（2）借助于三角函数的单调性求出单调区间，同时求出最大值。

17.（本小题满分12分）

【解析】（1）由
，得
，即表中
的值为
……………………………2分

（2）依题意，最先检测的3个人的编号依次为165,538,629； ………………………………5分

（3）设“丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多”的事件为
，其中女生男生数记为
.

由（1）知
，则
，且
，
，

∴ 满足条件的
有：（145，155）；（146，154）；（147，153）；（148，152）；（149，151）；

（150，150）；（151，149）；（152，148）；（153，147）；（154，146）；（155，145）共11组，

且每组出现的可能性相同. …………………………………9分其中事件
包含的基本事件