宿迁市剑桥国际学校2014-2015学年度第一学期12月月考

高三年级数学试卷

（考试时间：150分 试卷满分160分）

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.

1、已知集合
，

，则
= ▲ .

2、若复数
(
)是纯虚数，则
= ▲ .

3、垂直于直线
且与圆
相切于第一象限的直线方程是 ▲ .

4、在等比数列｛
｝中,若
,则
的值是 ▲ .

5、在用二分法求方程
的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)，

则下一步可断定该根所在的区间为 ▲ .

6. 正三棱锥
中，
，
，
分别是棱
上的点，
为边
的中点，
，则三角形
的面积为______▲_______．

7.已知等比数列
的前项和为
，若
，则
的值是 ▲ .

8. 设正实数
满足
，则当
取得最大值时，
的最大值为

9.由命题“
”是假命题，求得实数的取值范围是
，则实数的值是 ▲ .

10.已知实数
满足约束条件
（为常数），若目标函数
的最大值是
，则实数的值是 ▲ .

11.已知函数
，当
时，
，则实数的取值范围是 ▲ .

12、过定点 (1,2)的直线在
正半轴上的截距分别为
,则4
的最小值为 ▲ .

13．如图，A，B是半径为1的圆O上两点，且∠AOB＝．若点C是圆O上任意一点，

则?的取值范围为 ▲ ．

14、已知
是首项为a,公差为1的等差数列,
.若对任意的
,都有
成立,则实数a的取值范围是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

15.（本小题满分14分）

在△
，已知

求角值；

求
的最大值.

16.（本小题满分14分）

如图，在四棱柱
中，已知平面
平面
且
,
.

求证：

若为棱
的中点，求证：
平面
.

17.（本小题满分14分）

如图，两座建筑物
的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9
和15
，从建筑物
的顶部看建筑物
的视角
.

求
的长度；

在线段
上取一点
点与点
不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为
问点在何处时，
最小？

18.（本小题满分16分）

已知圆
的方程为
,点
是坐标原点.直线
与圆
交于
两点.

(Ⅰ)求
的取值范围;

(Ⅱ)设
是线段
上的点,且
.请将表示为的函数.

19、(本小题满分16分)

已知函数
，
，

(其中
)，设
.

（Ⅰ）当
时,试将
表示成的函数
,并探究函数
是否有极值；

（Ⅱ）当
时，若存在
，使
成立，试求
的范围.

20、(本小题满分16分)

已知为实数，数列
满足
，当
时，
，

（Ⅰ）
；(5分)

（Ⅱ）证明：对于数列
，一定存在
，使
；(5分)

（Ⅲ）令
，当
时，求证：
(6分)

高三12月月考数学试题参考答案

一、填空题

1.
2.2 3.
4.4 5.
（说明:写成闭区间也算对） 6．
7．
8．2 9． 10．
11．
12.32 13.
14.

二、解答题

15．⑴因为
，

由正弦定理，得
，…………………………………………2分

所以
，所以
，………………………………4分

因为
，所以
．…………………………………………………………6分

⑵ 由
，得
，所以

，……………………………………10分

因为
，所以
，……………………………………………12分

当
，即
时，
的最大值为． ……………………14分

16．⑴在四边形
中，因为
，
，所以
，……………2分

又平面
平面
，且平面
平面
，

平面
，所以
平面
，………………………………………4分

又因为
平面
，所以
．………………………………………7分

⑵在三角形
中，因为
，且为
中点，所以
，………9分

又因为在四边形
中，
，
，

所以
，
，所以
，所以

，…………12分

因为
平面
，
平面
，所以
平面
．…14分

17．⑴作

，垂足为，则
，
，设
，

则
…………………2分

，化简得
，解之得，
或
（舍）

答：
的长度为
．………………………………………………………………6分

⑵设
，则
，

．………………………8分

设
，
，令
，因为
，得
，当
时，
，
是减函数；当
　　　　　　时，
，
是增函数，

所以，当
时，
取得最小值，即
取得最小值，………12分

因为
恒成立，所以
，所以
，
，

因为
在
上是增函数，所以当
时，
取得最小值．

答：当
为
时，
取得最小值． ……………………………14分

18．解:(Ⅰ)将
代入
得 则
,(*) 由
得
. 所以
的取值范围是

(Ⅱ)因为M、N在直线l上,可设点M、N的坐标分别为
,
,则

,
,又
,

由
得,
,

所以

由(*)知
,
, 所以
,

因为点Q在直线l上,所以
,代入
可得
,

由
及
得
,即
.

依题意,点Q在圆C内,则
,所以
,

于是, n与m的函数关系为
(
)

19. 解：（Ⅰ）∵
,

,

∴
∴
……………… (3分)

设
是
的两根，则
，∴
在定义域内至多有一解,

欲使
在定义域内有极值，只需
在
内有解，且
的值在根的左右两侧异号，∴
得
……………………………………… (6分)

综上：当
时
在定义域内有且仅有一个极值，当
时
在定义域内无极值。

（Ⅱ）∵存在
，使
成立等价于
的最大值大于0，

∵
，∴
,

∴
得
.

当
时，
得
；

当
时，
得
………………………… (12分)

当
时，
不成立 …………………………………… (13分)

当
时，
得
；

当
时，
得
；

综上得：
或
…………………………………… (16分)

20. 解:（Ⅰ）
由题意知数列
的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而
=
(3分)

=
. ………………(5分)

（Ⅱ）证明：①若
,则题意成立……………………………………………(6分)

②若
,此时数列
的前若干项满足
,即
.

设
,则当
时,
.

从而此时命题成立……………………………………………………(8分)

③若
,由题意得
,则由②的结论知此时命题也成立.

综上所述,原命题成立…………………………………………………(10分)

（Ⅲ）当
时，因为
,

所以
=
…………………(11分)

因为
>0,所以只要证明当
时不等式成立即可.

而

…………………………………(13分)

①当
时,

… (15分)

②当
时,由于
>0,所以
<

综上所述,原不等式成立…………………………………………………………(16分)